鎳鈦諾材料模型

形狀記憶合金 (SMA) 如鎳鈦諾象徵超彈性效應。超彈性一詞是用來描述能夠在負載-解除負載循環中承受大幅變形而不致於永久變形的材料。事實上，在負載-解除負載循環下，即使應變高達 10-15%，這類材料仍顯現出遲滯反應，在負載及解除負載中呈現硬-軟-硬的模式，無永久變形的情形發生。

可為實體及薄殼元素使用鎳鈦諾材料模型。

鎳鈦諾條棒在單軸負載條件下所產生的典型應力-應變反應。需注意的是，材料在張力及壓縮方面呈現出不同行為。

形狀記憶合金的應力-應變曲線顯示出一種傳統材料所沒有的特殊宏觀行為。此行為乃出自於宏觀力學基礎。

SMA 代表可逆的麻田散相轉變，亦即，在晶體排列較為有序的晶相「沃斯田鐵相」與晶體排列較凌亂的晶相「麻田散鐵相」之間所做的實體對實體低擴散性轉變。

反應曲線的軟部分代表相轉變的區域：從沃斯田鐵相變換成麻田散鐵相 (負載)，再從麻田散鐵相變換成沃斯田鐵相 (解除負載)。

但為簡化起見，在此將反應曲線上的軟行為稱作「塑性」，而將硬的部分稱作「彈性」。

根據此定義，材料先是產生彈性行為，直到達到特定應力位階為止 (負載中的初始降伏強度)。如果負載持續作用，材料會顯現彈塑性行為，直到塑性應變達到其極值為止。從該點之後，材料在漸增的負載下又再次產生彈性行為。

在解除負載方面，同樣的材料一律開始彈性卸載，直到應力達到解除負載中的降伏強度。接著材料會以彈塑性的方式解除負載，直到所有累積的塑性應變 (來自負載相) 消失為止。而從該點之後，材料轉為彈性卸載，直到回復其原始形狀 (無永久變形) 且在零負載下為零應力為止。

鎳鈦諾模型公式

由於人們使用鎳鈦諾的原因通常在於其承受有限應變的能力，因此對這類模型採用對數應變以及新 Lagrangian 公式。

因此，其本構模型係以對數應變與 Kirchhoff 應變零組件之關係而建立。但是，本構矩陣及應力向量兩者最終都會轉變以表示 Cauchy 應力 (真應力)。

sst1, sft1 = 拉伸負載的初始及最終降伏強度。[SIGT_S1, SIGT_F1]

sst2, sft2 = 拉伸卸載的初始及最終降伏強度。[SIGT_S2, SIGT_F2]

ssc1, sfc1 = 壓縮負載的初始及最終降伏強度。[SIGC_S1, SIGC_F1]

ssc2, sfc2=壓縮卸載的初始及最終降伏強度。[SIGC_S2, SIGC_F2]

eul = (最大抗拉塑膠應變)(3/2)0.5

指數流動律使用到額外的輸入常數：bt1、bt2、bc1、bc2：

bt1 = 材料參數，計算拉伸負載的轉變速率，[BETAT_1]

bt2 = 材料參數，計算拉伸卸載的轉變速率，[BETAT_2]

bc1 = 材料參數，計算壓縮負載的轉變速率，[BETAC_1]

bc2 = 材料參數，計算壓縮卸載的轉變速率，[BETAC_2]

降伏準則

為將相轉變的壓力相依之可能性模型化，故於降伏準則中採用 Drucker-Prager 型的負載函數：

 F(t) = sqrt(2) s + 3 a p

 F- Rif = 0

其中：

s = 有效應力

p = 平均應力 (或靜液壓力)

a = sqrt(2/3) ( ssc1- sst1) / ( ssc1+ sst1)

Rfi = [ sfi(sqrt (2/3) + a )] ：1：負載，i = 2：解除負載

流動律

藉由套用對數應變定義，軸差及體積零組件的應變和應力張量及其關係，可正確地以解偶形式表示。

首先，假設以下式表示塑性與彈性總應變向量：

ep = eul xs ( n + a m )

ee = e  - ep

結果得知，可由下式推算出 Kirchhoff 應力向量：

t = pm + t

p = K ( q - 3 a eulxs)

t = 2G ( e - eul xs n)

在上述公式中：

eul = 表示材料塑性應變最大變形量之刻度參數 [EUL]

xs = 介於零與一之間的參數，為塑性應變量測值

q =  體積應變 = e11 + e22 + e33

e = 偏應變向量

t= 偏應力向量

n = 偏應力的範數：t/(sqrt(2) s)

m = 向量形式的單位矩陣：{1,1,1,0,0,0}T

K & G = 容積及剪力彈性模數：{ K = E/[3(1-2n), G = E/[2(1+v)]}

線性流動律可以增量形式分別表示如下：

負載：Dxs= ( 1.0 - xs)DF / ( F - R1f)

解除負載：Dxs= xs DF / ( F - R2f)

且當非零的 b 被定義時，會使用指數流動律：

負載：Dxs= b1( 1.0 - xs)DF / ( F - R1f)2

解除負載：Dxs= b2xs DF / ( F - R2f)2

注意：

‧ 一般而言，形狀記憶合金已知對於速率影響的反應遲鈍。因此在上述公式中，「時間」代表虛擬變數，時間長短不會影響到解答。

‧ 在此舉出的所有方程式皆針對拉伸負載-卸載，因為類似的表達式 (含有壓縮屬性參數者) 可應用在壓縮負載-卸載條件中。

‧ 在此使用的增量求解運算法係採用 return-map 程序，以推算求解步階的應力以及 本構方程式。因此，解決辦法包含兩個部分：首先計算試驗狀態，如果試驗狀態違反流動準則，即加以調整使其回復對流動面的應力。

參考文獻：

1. Auricchio, F., “A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model,” International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.

2. Auricchio, F.,  Taylor, R.L., and Lubliner, J., “Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior,”  Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.

3. Bergan, P.G., Bathe, K.J., and Wunderlich, eds.“On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis,”  Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.

4. Hughes, T., eds.“Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity,”  Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.