Системы с одной степенью свободы (SDOF)
Рассмотрим простую упругую систему с массами. Масса (m) подвергнута воздействию силы F(t) в направлении u в качестве функции времени. Масса может перемещаться только в направлении u и, следовательно, является системой с одной степенью свободы (SDOF). Движению сопротивляется пружина жесткостью (к).
Записывая второй закон Ньютона (сила равна массе умноженной на ускорение) для этой системы во время (t), получаем:
F(t)-ku(t) = mu..(t)
или:
mu..(t) + ku(t) = F(t)
где:
u..(t) – ускорение массы во время (t) и оно равно второй производной u относительно времени.
k = жесткость пружины
Теоретически, если масса смещена и освобождена, она будет продолжать колебаться с одинаковой амплитудой нескончаемо долгий период времени. На практике, масса вибрирует с постепенно уменьшающейся амплитудой до тех пор, пока не придет в состояние покоя. Настоящее явление называется демпфированием и оно вызывается потерей энергии посредством трения и других влияний. Демпфирование является сложным явлением. В целях настоящего обсуждения, предполагаем, что демпфирующая сила пропорциональна скорости. Настоящий вид демпфирования называется вязкостное демпфирование.
С учетом демпфирования вышеприведенное уравнение становится:
mu..(t) + cu.(t) + ku(t) = F(t)
где:
u.(t) – скорость массы во время (t) и оно равно первой производной u относительно времени.
В статических исследованиях скорость и ускорение так малы, что ими можно пренебречь, а F и u не являются функциями времени. Вышеприведенное уравнение уменьшается до: F=ku.
Системы со многими степенями свободы (MDOF)
Для систем со многими степенями свободы (MDOF) m, c и k становятся матрицами, а не одиночными значениями и уравнения движения выражены как:
где:
[M]: матрица масс
[K] : матрица жесткости
[C] : матрица демпфирования
{u(t)}: вектор перемещения во время t (составляющие перемещения каждого узла)
: вектор ускорения во время t (ускорение компонентов каждого узла)
: вектор скорости во время t (скорость компонентов каждого узла)
{f(t)}: изменяющийся во времени вектор нагрузки (сила компонентов каждого узла)