Modèle de matériau Nitinol

Les alliages à mémoire de forme (SMA), le Nitinol par exemple, présentent l'effet superélastique. Le terme superélastique décrit les matériaux qui peuvent subir de grandes déformations au cours des cycles de chargement-déchargement sans présenter des déformations permanentes. En fait, au cours des cycles de chargement-déchargement, le matériau présente, même pour des déformations de 10-15 %, une réponse hystérétique, autrement dit, un chemin rigide-souple-rigide aussi bien pour le chargement que pour le déchargement, sans aucune déformation permanente.

Le modèle de matériau Nitinol est disponible pour les éléments volumiques et coque.

Une réponse contrainte-déformation type pour une barre de Nitinol soumise à des conditions de chargement uniaxial. Le matériau a un comportement différent dans des conditions de tension et de compression

La courbe contrainte-déformation des alliages à mémoire de forme traduit un comportement macroscopique caractéristique, absent des matériaux traditionnels. Ce comportement est imputable à la macromécanique sous-jacente.

Les alliages à mémoire de forme présentent des transformations de phases martensitiques inversables, autrement dit, des transformations de type volume-diffusion volumique-moins entre une phase en direction crystallographique plus (« austénite ») et une phase en direction crystallographique moins (« martensite »).

Les portions souples de la courbe de réponse représentent les zones dans lesquelles une transformation de phase : conversion austénite en martensite (chargement) et martensite en austénite (déchargement) se produit.

Par mesure de simplicité, cependant, nous allons utiliser le terme « plastique » pour le comportement souple de la réponse et le terme « élastique » pour les portions rigides.

Conformément à cette définition, le matériau présente d'abord un comportement élastique jusqu'à ce qu'un niveau de contrainte spécifique soit atteint (la limite d'élasticité initiale pendant le chargement). Si le chargement se poursuit, le matériau présente un comportement élastoplastique jusqu'à ce que la déformation plastique atteigne sa valeur de rupture. A partir de ce point, le matériau présente de nouveau un comportement élastique sous l'effet de chargements accrus.

Pour le déchargement, le matériau commence une nouvelle fois par présenter un comportement élastique jusqu'à ce que la valeur de la contrainte soit ramenée à la limite d'élasticité initiale pendant le déchargement. Le matériau va alors poursuivre le déchargement selon un comportement élastoplastique jusqu'à ce que toute la déformation plastique accumulée (à partir de la phase de chargement) soit perdue. A partir de ce point, le matériau va se décharger selon un comportement élastique jusqu'à ce qu'il reprenne sa forme d'origine (aucune déformation permanente), sans aucune contrainte sous des chargements nuls.

La formulation du modèle Nitinol

Puisque l'emploi de Nitinol se justifie normalement par sa résistance à des déformations finies, ce modèle repose sur la théorie de grande déformation combinant les déformations logarithmiques et la formulation lagrangienne actualisée.

Le modèle constitutif est donc construit sur la base des déformations logarithmiques et des composantes de contrainte de Kirchhoff. Cependant, la matrice constitutive et le vecteur de contrainte sont en fin de compte transformés pour présenter les (vraies) contraintes de Cauchy.

sst1, sft1 = Limite d'élasticité initiale et finale pour le chargement de traction. [SIGT_S1, SIGT_F1]

sst2, sft2 = Limite d'élasticité initiale et finale pour le déchargement de traction. [SIGT_S2, SIGT_F2]

ssc1, sfc1 = Limite d'élasticité initiale et finale pour le chargement de compression. [SIGC_S1, SIGC_F1]

ssc2, sfc2 = Limite d'élasticité initiale et finale pour le déchargement de compression. [SIGC_S2, SIGC_F2]

eul = (Déformation plastique maximum en traction)(3/2)0,5

La règle de flux exponentielle utilise les contraintes d'entrée supplémentaires, bt1, bt2, bc1, bc2 :

bt1 = paramètre de matériau, permettant de mesurer la vitesse de transformation pour le chargement de traction, [BETAT_1]

bt2 = paramètre de matériau, permettant de mesurer la vitesse de transformation pour le déchargement de traction, [BETAT_2]

bc1 = paramètre de matériau, permettant de mesurer la vitesse de transformation pour le chargement de compression, [BETAC_1]

bc2 = paramètre de matériau, permettant de mesurer la vitesse de transformation pour le déchargement de compression, [BETAC_2]

Le critère d'élasticité

Afin de modéliser la dépendance potentielle de la pression par rapport au temps de la transformation de phase, une fonction de chargement de type Drucker-Prager est utilisée pour le critère d'élasticité :

 F(t) = sqrt(2) s + 3 a p

 F- Rif = 0

Où :

s = contrainte effective

p = contrainte moyenne (ou pression hydrostatique)

a = sqrt(2/3) ( ssc1- sst1) / ( ssc1+ sst1)

Rfi = [ sfi(sqrt (2/3) + a )] : i = 1 : chargement, i = 2 : déchargement

La règle de flux

Par l'adoption de la définition de déformation logarithmique, il est possible d'exprimer correctement sous une forme découplée les composantes déviatoriques et volumétriques des tenseurs de déformation et de contrainte, ainsi que leurs relations.

Nous allons d'abord prendre en compte les vecteurs de déformation plastique et élastique totale, qui seront représentés par :

ep = eul xs ( n + a m )

ee = e  - ep

Par conséquent, le vecteur de déformation de Kirchhoff peut être évalué sur la base de la formule suivante :

t = pm + t

p = K ( q - 3 a eulxs)

t = 2G ( e - eul xs n)

Dans les formulations ci-dessus :

eul = paramètre scalaire représentant la déformée maximum de la déformation plastique du matériau [EUL]

xs = paramètre compris entre zéro et un, qui exprime la mesure de la déformation plastique

q =  déformation volumétrique = e11 + e22 + e33

e = vecteur de déformation déviatorique

t = vecteur de contrainte déviatorique

n = norme de contrainte déviatorique : t/(sqrt(2) s) ?

m = matrice d'identité de la forme vectorielle : {1,1,1,0,0,0}T

K & G = modules d'élasticité volumique et de cisaillement : { K = E/[3(1-2n), G = E/[2(1+v)]}

La règle de flux linéaire dans la forme incrémentielle peut être exprimée en conséquence :

Chargement : Dxs= ( 1,0 - xs)DF / ( F - R1f)

Déchargement : Dxs= xs DF / ( F - R2f)

Et la règle de flux exponentielle, utilisée lorsqu'un b non nul est défini :

Chargement : Dxs= b1( 1,0 - xs)DF / ( F - R1f)2

Déchargement : Dxs= b2xs DF / ( F - R2f)2

Remarques :

• En général, les alliages à mémoire de forme sont insensibles aux effets de taux. Dans la formulation ci-dessus, le « temps » représente une pseudo variable et sa longueur n'a aucune incidence sur la résolution.

• Toutes les équations sont présentées ici pour le chargement-déchargement de traction, puisque les expressions similaires (avec les paramètres des caractéristiques de compression) peuvent servir pour les conditions de chargement-déchargement de compression.

• L'algorithme de solution incrémentielle utilise une procédure retour-correspondance dans l'évaluation des contraintes et des  équations constitutives pour un pas de simulation. Par conséquent, la résolution comprend deux parties. Il faut initialement calculer un état d'essai ; puis, si l'état d'essai viole le critère de flux, un ajustement permet de ramener les contraintes à la surface de flux.

Références :

1. Auricchio, F., "A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model," International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.

2. Auricchio, F.,  Taylor, R.L., and Lubliner, J., "Shape-Memory-Alloys : Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior,"  Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.

3. Bergan, P.G., Bathe, K.J., and Wunderlich, eds. "On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis,"  Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.

4. Hughes, T., eds. "Numerical Implementation of Constitutive Models : Rate-Independent Deviatoric Plasticity,"  Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.