Procedura di analisi - Cronologia modale
Il sistema di equazioni del movimento di un sistema lineare di n gradi di mobilità ingrandito da una forza variante è:
(Equazione 1)
dove:
[M] = bsp;n bsp;x n matrice di inerzia simmetrica
[C] = n x n matrice di smorzamento simmetrico
[K] = n x n matrice di rigidezza simmetrica
{f(t)} = n-vettore di forza di quotatura
, 
, 
sono i vettori n di quotatura di spostamento, velocità e accelerazione, rispettivamente.
(Equazione 1) è un sistema di n equazioni differenziali ordinarie simultanee con coefficienti costanti. Le equazioni del movimento sono accoppiate mediante termini di massa, rigidezza e smorzamento. L'accoppiamento dipende dal sistema di coordinate usato per descrivere le equazioni del movimento matematicamente.
L'idea fondamentale dietro l'analisi modale è di trasformare il sistema accoppiato di (Equazione 1) in un gruppo di equazioni indipendenti usando la matrice modale [F
] come matrice di trasformazione. [
F
] contiene le modalità normali {
f
}
i per i = 1, ....,n sistemate così:
(Equazione 2)
Le modalità normali e i valori eigen del sistema derivano dalla soluzione del problema eigenvalue:
(Equazione 3)
dove [w2] è una matrice diagonale delle frequenze naturali quadrate.
Per i sistemi lineari, il sistema di n equazioni del movimento possono essere dissociate in n equazioni di grado singolo di mobilità in termini di vettore dello spostamento modale {x}:
bsp;
(Equazione 4)
Sostituzione del vettore {u} da (Eq.4) e pre moltiplicandolo per [F]T (Equazione 1) genera:
(Equazione 5)
Le modalità normali soddisfano la proprietà ortogonale e la matrice modale [F] viene normalizzata per soddisfare le seguenti equazioni:
bsp;(Equazione 6)
(Equazione 7) e
(Equazione 8).
Sostituendo (Equazioni.6--8), (Equazione 5) diviene un sistema di n equazioni differenziali di secondo ordine SDOF indipendenti:
per i =1, ..., n (Equazione 9)
(Equazione 9) viene risolta usando i metodi di integrazione passo per passo come Wilson-Theta e Newmark.
L'integrazione viene effettuata nel dominio temporale, dove i risultati dell'ultima fase sono utilizzati per prevedere quelli della successiva.
Il vettore di spostamento del sistema (u) è derivato da (Equazione 4).
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