分析步骤 - 模态时间历史

由随时间变化的力所激发的线性 n 自由度系统的运动方程式系统为：

（方程式 1）

其中：

[M] = n x00a0;x n 对称惯性矩阵

[C] = n x n 对称阻尼矩阵

[K] = n x n 对称刚度矩阵

{f(t)} = n 维力向量

、 和 分别是位移、速度和加速度 n 维向量。

（方程式 1）是一组具有常量系数的 n 阶联立常微分方程式。运动方程式由质量、刚度和阻尼这几个条件组合而成。组合取决于用来以数学方式描述运动方程式的坐标系。

模态分析的基本思想是通过将模态矩阵 [F] 用作转换矩阵，从而将（方程式 1）连接的系统转换为一组独立的方程式。[ F ] 包含正常模式 { f } i (i = 1, ....,n)，其排列方式为：

（方程式 2）

系统的正常模式和特征值通过解决特征值问题而得出：

（方程式 3）

其中 [w2] 是固有频率平方的对角矩阵。

对于线性系统，n 阶运动方程式的系统可以分离为以模态位移向量 {x} 表示的 n 个单自由度方程式：

bsp; （方程式 4）

替换（方程式 4）中的向量 {u} 并将它预乘以 [F]T（方程式 1）将形成：

（方程式 5）

正常模式满足正交状态属性，模态矩阵 [F] 经过正规化，可以满足以下方程式：

bsp;（方程式 6）

（方程式 7）和

（方程式 8）。

通过替换（方程式 6）到（方程式 8），（方程式 5）会成为一组 n 阶独立 SDOF 二阶微分方程式：

(i =1, ..., n)（方程式 9）

（方程式 9）通过诸如威尔逊-θ 和纽马克的逐步积分方法解出。

积分是在时间域中执行的，在时间域中，上一步的结果会用来预测下一步的结果。

系统的位移向量 (u) 从（方程式 4）派生而来。

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