Kiedy używać analizy dynamicznej

Badania statyczne zakładają, że obciążenia są stałe lub są stosowane bardzo powoli aż do osiągnięcia pełnych wielkości. Ze względu na to założenie, prędkość i przyspieszenie każdej cząstki w modelu są przyjmowane jako zerowe. W wyniku tego, badania statyczne zaniedbują siły inercji i tłumienia.

W wielu przypadkach praktycznych obciążenia nie są stosowane powoli lub zmieniają się wraz z czasem lub częstotliwością. W takich przypadkach należy używać badań dynamicznych. Generalnie rzecz ujmując badania dynamicznego należy używać, jeżeli częstotliwość obciążenia jest większa od 1/3 najniższej (podstawowej) częstotliwości.

Badania dynamiczne liniowe oparte są na badaniach częstotliwości. Oprogramowanie oblicza odpowiedź modelu poprzez zebranie udziałów każdego modu w środowisku obciążenia. W większości przypadków tylko niższe mody wpływają znacząco na odpowiedź. Udział modu zależy od częstotliwości, wielkości, kierunku, czasu trwania oraz lokalizacji obciążenia.

Cele analizy dynamicznej:

• Projektowanie układów konstrukcyjnych i mechanicznych działających bezawaryjnie w środowiskach dynamicznych.

• Modyfikowanie charakterystyk układów (tj. geometrii, mechanizmów tłumiących, właściwości materiałów itp.) w celu redukcji efektów wibracji.

Równania ruchu

Układy z pojedynczym stopniem swobody (SDOF)

Rozważmy układ masa-sprężyna. Masa (m) jest poddawana działaniu siły F(t) w kierunku u w funkcji czasu. Masa może poruszać się tylko w kierunku u, dlatego jest to układ z pojedynczym stopniem swobody (SDOF). Ruchowi stawia opór sprężyna o sztywności (k).

.

Zapisując drugą zasadę dynamiki Newtona (siła równa się masa razy przyspieszenie) dla tego układu w chwili (t) otrzymujemy:

F(t)-ku(t) = mu..(t)

lub:

mu..(t) + ku(t) = F(t)

gdzie:

u..(t) jest przyspieszeniem masy w chwili czasowej (t), równym drugiej pochodnej u po czasie.

k = jest sztywnością sprężyny

W teorii, jeżeli masa zostanie przemieszczona i zwolniona, to będzie ona wibrować z taką samą amplitudą w nieskończoność. W praktyce masa wibruje z coraz mniejszą amplitudą, aż do zatrzymania. Zjawisko to jest zwane tłumieniem i jest powodowane stratami energii w wyniku tarcia i innych efektów. Tłumienie jest zjawiskiem złożonym. W tych rozważaniach załóżmy, że siła tłumiąca jest proporcjonalne do prędkości. Ten typ tłumienia nosi nazwę tłumienia lepkościowego.

Uwzględniając tłumienie, powyższe równanie przybiera postać:

mu..(t) + cu.(t) + ku(t) = F(t)

gdzie:

u.(t) jest prędkością masy w chwili czasowej (t), równą pierwszej pochodnej u po czasie.

Notatka: W badaniach statycznych prędkość i przyspieszenie są tak małe, że można je zaniedbać, a F i u nie są funkcjami czasu. Powyższe równanie upraszcza się do postaci: F=ku.

Układy z wieloma stopniami swobody (MDOF)

W układach z wieloma stopniami swobody (MDOF), wielkości m, c oraz k przybierają postać macierzy zamiast pojedynczych wartości, a równania ruchu wyrażone są jako:

, gdzie

[M]: macierz masy

[K] : macierz sztywności

[C] : macierz tłumienia

{u(t)}: wektor przemieszczenia w chwili czasowej t (komponenty przemieszczenia w każdym węźle)

wektor przyspieszenia w chwili czasowej t (komponenty przyspieszenia w każdym węźle)

wektor prędkości w chwili czasowej t (komponenty prędkości w każdym węźle)

{f(t)}: zmienny w czasie wektor obciążenia (komponenty siły w każdym węźle)

Tematy pokrewne

Porównanie liniowej analizy statycznej i liniowej analizy dynamicznej

Obciążenia dynamiczne

Obciążenia i opcje wyników w analizie dynamicznej