Итерационные методы решения в нелинейных исследований

Нелинейные статические исследования

В нелинейном статическом анализе основная система уравнений должна быть решена на любом «временном» шаге, t+Dt, равно:

^t+Δt{R} - ^t+Δt{F} = 0,

где:

^t+Δt{R} = Вектор внешних приложенных узловых нагрузок

^t+Δt{F} = Вектор внутренне образующихся в узлах сил.

Поскольку внутренние узловые силы ^t+Δt{F} зависят от узловых перемещений во время t+Δt, ^t+Δt{U}, необходимо использовать итерационный метод. Следующие уравнения представляют собой основную структуру итеративной схемы для решения уравнений равновесия на определенном временном шаге, t+Δt,

{ΔR}^(i-1) = ^t+Δt{R} - ^t+Δt{F}^(i-1)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ {ΔU}⁽ⁱ⁾ = {ΔR}^(i-1)

^t+Δt{U}⁽ⁱ⁾ = ^t+Δt{U}^(i-1) + {ΔU}⁽ⁱ⁾

^t+Δt{U}⁽⁰⁾ = ^t{U}; ^t+Δt{F}⁽⁰⁾ = ^t{F}

где:

^t+Δt{R} = Вектор внешних приложенных узловых нагрузок

^t+Δt{F}^(i-1) = Вектор внутренне образующихся в узлах сил на повторе (i)

{ΔR}^(i-1) = Вектор неуравновешенной нагрузки на повторе (i)

{ΔU}⁽ⁱ⁾ = Вектор инкрементных узловых перемещений на повторе (i)

^t+Δt{U}⁽ⁱ⁾ = Вектор полного перемещения на повторе (i)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ = Матрица Якобиана (касательная жесткость) на повторе (i).

Имеются различные схемы выполнения вышеупомянутых повторов (итераций). Краткое описание двух методов Ньютоновского типа представлены ниже: