Logaritmik gerinim tanımının uygulanmasıyla birlikte, gerinim ve gerilim tensörlerinin deviatorik ve volümetrik bileşenleri ve bunların ilişkileri ayrıştırılmış bir formda doğru bir şekilde ifade edilebilir.
İlk olarak, sunulacak toplam plastik ve elastik gerinim vektörlerini şu şekilde hesaplarız:
ε(bar)p = εul ξs( n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
Ardından, Kirchhoff gerilim vektörü şu şekilde değerlendirilebilir:
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
Yukarıdaki formülasyonlarda:
| εul |
maksimum malzeme plastik gerinim deformasyonunu [EUL] gösteren skaler parametresi |
| ξs |
0 ile 1 arasındaki parametre, plastik gerinim ölçümünü gösterir |
| θ |
volümetrik gerinim = ε11 + ε22 + ε33 |
| e(bar) |
deviatorik gerinim vektörü |
| t(bar) |
deviatorik gerilim vektörü |
| n(bar) |
deviatorik gerilim normu = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar)) |
| m(bar) |
vektör formundaki birim matris: {1,1,1,0,0,0}T |
| K ve G |
bulk ve yırtılma elastisite modülü: K = E / [3(1-2ν)], G = E / [2(1+ν)] |
Buna göre, artımlı formdaki doğrusal akış kuralı şu şekilde ifade edilebilir:
Yükleme: Δξs = ( 1,0 - ξs) ΔF / ( F - Rf1)
Boşaltma: Δξ
s = ξ
s ΔF / ( F - R
f2)
Sıfır olmayan bir β tanımlandığında kullanılan üstel akış kuralı:
Yükleme: Δξs = β1( 1,0 - ξs) ΔF / ( F - Rf1)2
Boşaltma: Δξs = β2ξs ΔF / ( F - Rf2)2
- Genel olarak, şekil hafızalı alaşımlar hız etkilerine duyarlı değildir. Dolayısıyla, yukarıdaki formülasyonda “süre” sahte bir değişkeni göstermektedir ve uzunluğu çözümü etkilemez.
- Sıkıştırma yükleme-boşaltma koşulları için benzer ifadeler (sıkıştırma özelliği parametrelerini içeren) kullanılabileceği için buradaki tüm denklemler çekme yükleme-boşaltma koşulları için verilmiştir.
- Burada gösterilen artımlı çözüm algoritması, bir çözüm adımı için gerilimlerin ve bünye denklemlerinin değerlendirilmesinde bir geri dönüş haritası prosedürünü kullanır. Buna göre, çözüm iki bölümden oluşur. İlk olarak bir deneme hali hesaplanır, ardından deneme hali akış kriterini ihlal ediyorsa gerilimleri akış yüzeyine geri döndürmek için bir ayarlama yapılır.
Referanslar
- Auricchio, F., “A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model,” International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R.L., and Lubliner, J., “Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J., and Wunderlich, eds. “On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis,” Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. “Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity,” Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.