대수 변형 정의를 사용해도 변형 및 응력 텐서의 편차 및 볼륨 부품과 해당 관계는 분리된 형태로 표시됩니다.
우선 총 플라스틱 및 탄성 변형 벡터를 다음으로 가정합니다.
ε(bar)p = εul ξs( n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
이제 다음에서 Kirchhoff 응력 벡터를 계산할 수 있습니다.
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
위의 공식에서
| εul
|
최대 재질 소성 변형을 나타내는 스칼라 파라미터 [EUL] |
| ξs
|
소성 변형의 측정인 0과 1 사이의 파라미터 |
| θ |
체적 변형률 = ε11 + ε22 + ε33
|
| e(bar) |
편차 변형 벡터 |
| t(bar) |
편차 응력 벡터
|
| n(bar) |
편차 응력의 놈 = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar)) |
| m(bar) |
벡터 형태의 항등 매트릭스 {1,1,1,0,0,0}T
|
| K 및 G |
벌크 및 전단 탄성 계수: K = E / [3(1-2ν)], G = E / [2(1+ν)] |
증분형의 선형 유동 규칙은 다음에 따라 표시됩니다.
하중: Δξs = ( 1.0 - ξs) ΔF / ( F - Rf
1)
하중 제거 Δξ
s = ξ
s ΔF / ( F - R
f
2)
0이 아닌 β가 정의되는 경우에 사용된 지수 유동률 규칙은 다음과 같습니다.
하중: Δξs = β1( 1.0 - ξs) ΔF / ( F - Rf
1)2
하중 제거 Δξs = β2ξs ΔF / ( F - Rf
2)2
- 일반적으로 SMA(shape-memory-alloys)는 속도 효과와 관계 없습니다. 그러므로 위의 공식에서 "시간"은 유사 변수이며 그 길이에 관계 없이 결과는 같습니다.
- 유사한 수식을 압축 하중 부가-하중 제거 조건에 사용할 수 있으므로(압축 속성 파라미터 포함) 인장 하중 부가-하중 제거를 위해 여기에서는 모든 수식을 표시했습니다.
- 여기에서 증분 솔루션 알고리즘에는 솔루션 스텝을 위해 응력 및 구성 방정식 계산에 반환-맵 프로시저를 사용합니다. 따라서 솔루션은 두 부분으로 구성됩니다. 처음에는 평가 상태가 계산됩니다. 평가 상태가 유동 기준을 위반하면 조정이 이루어져 응력이 유동 곡면으로 반환됩니다.
참조
- Auricchio, F., “A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model,” International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R.L., and Lubliner, J., “Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J., and Wunderlich, eds. “On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis,” Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. “Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity,” Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.