Iteracyjne metody rozwiązań dla problemów nieliniowych

Badania statyczne nieliniowe

W nieliniowej analizie statycznej podstawowy układ równań do rozwiązania w dowolnym kroku czasu t+Δt ma postać:

^t+Δt{R} - ^t+Δt{F} = 0,

gdzie:

^t+Δt{R} = wektor zewnętrznie zastosowanych obciążeń węzłowych

^t+Δt{F} = wektor wewnętrznie generowanych sił węzłowych.

Ponieważ wewnętrzne siły węzłowe ^t+Δt{F} zależą od przemieszczeń węzłowych w czasie t+Δt, ^t+Δt{U}, konieczne jest użycie metody iteracyjnej. Poniższe równania przedstawiają podstawowy zarys schematu iteracyjnego rozwiązywania równań równowagi w określonym kroku czasu t+Δt,

{ΔR}^(i-1) = ^t+Δt{R} - ^t+Δt{F}^(i-1)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ {ΔU}⁽ⁱ⁾ = {ΔR}^(i-1)

^t+Δt{U}⁽ⁱ⁾ = ^t+Δt{U}^(i-1) + {ΔU}⁽ⁱ⁾

^t+Δt{U}⁽⁰⁾ = ^t{U}; ^t+Δt{F}⁽⁰⁾ = ^t{F}

gdzie:

^t+Δt{R} = wektor zewnętrznie zastosowanych obciążeń węzłowych

^t+Δt{F}^(i-1) = wektor wewnętrznie generowanych sił węzłowych w iteracji (i)

{ΔR}^(i-1) = wektor niezrównoważonego obciążenia w iteracji (i)

{ΔU}⁽ⁱ⁾ = wektor inkrementacyjnych przemieszczeń węzłowych w iteracji (i)

^t+Δt[ΔU]⁽ⁱ⁾ = wektor całkowitych przemieszczeń w iteracji (i)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ = macierz jakobianowa (sztywność styczna) w iteracji (i).

Istnieją różne schematy wykonywania powyższych iteracji. Poniżej przedstawiono krótki opis dwóch metod typu Newtona: