Iterative Lösungsmethoden für nicht-lineare Studien

Nicht-lineare statische Studien

Bei einer nicht-linearen statischen Analyse lautet der grundlegende Gleichungssatz, der in jedem Zeitschritt t+Δt zu lösen ist, folgendermaßen:

^t+Δt{R} - ^t+Δt{F} = 0,

wobei:

^t+Δt{R} = Vektor der extern angewendeten Knotenlasten

^t+Δt{F} = Vektor der intern erstellten Knotenkräfte.

Da die internen Knotenkräfte ^t+Δt{F} von den Knotenverschiebungen zum Zeitpunkt t+Δt, ^t+Δt{U} abhängen, muss eine iterative Methode verwendet werden. Die folgenden Gleichungen zeigen die Grundform eines iterativen Schemas zur Lösung der Gleichgewichtsgleichungen an einem bestimmten Zeitschritt, t+Δt.

{ΔR}^(i-1) = ^t+Δt{R} - ^t+Δt{F}^(i-1)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ {ΔU}⁽ⁱ⁾ = {ΔR}^(i-1)

^t+Δt{U}⁽ⁱ⁾ = ^t+Δt{U}^(i-1) + {ΔU}⁽ⁱ⁾

^t+Δt{U}⁽⁰⁾ = ^t{U}; ^t+Δt{F}⁽⁰⁾ = ^t{F}

wobei:

^t+Δt{R} = Vektor der extern angewendeten Knotenlasten

^t+Δt{F}^(i-1) = Vektor der intern erstellten Knotenkräfte bei Iteration (i)

{ΔR}^(i-1) = Ungleichgewichtsvektor bei Iteration (i)

{ΔU}⁽ⁱ⁾ = Vektor der inkrementellen Knotenverschiebungen bei Iteration (i)

^t+Δt[ΔU]⁽ⁱ⁾ = Vektor der Gesamtverschiebungen bei Iteration (i)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ = Jacobi-Matrix (tangentiale Steifigkeit) bei Iteration (i).

Zur Durchführung der oben genannten Iterationen können verschiedene Schemata verwendet werden. Zwei Newtonsche Methoden werden im Folgenden kurz beschrieben: