トポロジー最適化のための SIMP メソッド

トポロジー最適化は、最も一般的な構造最適化のタイプです。 設計の初期段階で使用して、構造の初期設計スペース内で最適な材料分布を予測し、機能仕様と製造制約を考慮します。

トポロジー最適化のための最も一般的な数学的方法は、Solid Isotropic Material with Penalization（SIMP）メソッドです。 最初に SIMP メソッドを提唱したのは、Bendsoe と Kikuchi（1988）および Rozvany と Zhou （1992）です。 SIMP メソッドでは、特定の荷重ケース、境界条件、製造制約、パフォーマンス要件で、設計スペース内の最適な材料分布が予測されます。

Bendsoe（1989）によれば、次のようになります。 「最も一般的な設定では、形状最適化は、スペースのすべての点で、その点に材料があるかどうかを判断することから構成されます。」 トポロジー最適化の従来のアプローチでは、等方性固体微細構造と呼ばれる有限要素のグリッドにドメインを離散化します。 各要素では、材料を必要とする領域に材料が充填されるか、材料を除去できる領域（空隙を表す）の材料が空になります。 設計ドメイン ρ 内の材料の密度分布はそれぞれ独立しており、各要素にはバイナリ値が割り当てられます。
  • ρ(e) = 1、材料が必要（黒）
  • ρ(e) = 0、材料を除去（白）

例えばこの図は、荷重を受けた梁の最適化された材料レイアウトを示しています。 密度が高いソリッド要素 ρ(e) =1 は黒であり、ρ(e) = 0 の空隙要素は除去されます。



連続的な相対密度分布関数の導入により、バイナリ、つまり問題のオンとオフという性質が回避されます。 要素ごとに、割り当てられた相対密度は、最小値 ρmin と 1 の間で変動し、要素の中間密度の割り当てが可能になります（多孔要素）。

ρmin は、0 より大きい空要素の最小許容相対密度値です。 この密度の値によって、有限要素解析の数値の安定性が確保されます。

材料相対密度を連続的に変動できるようになると、各要素の材料のヤング率も連続的に変動できるようになります。 要素 e ごとに、材料相対密度係数 ρe と割り当て済み等方性材料モデルの弾性のヤング率 Ε0 との関係は、指数法則によって計算されます。

ペナルティ係数 p は、合計剛性に対する中間密度の要素（グレー要素）を縮小します。 ペナルティ係数は、黒（ρe = 1）の要素または空隙の白（ρe= ρmin）の要素への最適化解に影響を与えます。 数値実験では、ペナルティ係数値 p = 3 が適切であることが示されています。

要素の材料弾性係数を縮小すると、要素の剛性は縮小します。 SIMP メソッドによると、全体剛性は次のように調整されます。

は要素の剛性マトリックス、ρmin は最小相対密度、ρe は要素の相対密度、p はペナルティ係数、Nは設計ドメイン内の要素数です。

たとえば、相対密度 ρe = 0.5、ペナルティ係数 = 3、ρmin = 0.001 が割り当てられている要素の場合、全体剛性マトリックスは係数 (0.001 + (1 -0.001)* 0.5 ^3) = 0.12587 によって調整されます。

目的関数: 剛性の最大化

一般的な最適化の目的は、構造の全体的な剛性を最大化すること、または指定された量の質量を除去する条件下でそのコンプライアンスを最小限に抑えることです。

コンプライアンスは、構造の全体的な柔軟性の尺度であり、剛性の逆数です。 グローバル コンプライアンスは、要素の弾性またはひずみエネルギーの合計に等しくなります。 グローバル コンプライアンス、C を最小限に抑えることは、グローバル剛性を最大限に高めることに相当します。 最適化アルゴリズムは、反復プロセスにより、構造のグローバル コンプライアンスを最小限にする要素密度（最適化設計変数）を解決しようとします。



[ue] は要素 e のノード変位ベクトル、[Ke] は要素 e の剛性であり、ベクトル {ρ} には要素の相対密度 ρe が含まれています。

最適化のたびに、ターゲットの質量制約、全体的な力 - 剛性の平衡、および必要な機能的制約が満たされている必要があります:

ve は要素体積で、Mtarget は最適化のターゲット質量です。


[K{ρ}] は、相対密度のベクトルで変調されたグローバル剛性マトリックスで、{u} は変位ベクトル、{F} は外力ベクトルです。


上の計算式には、応力、変位、固有振動数の制限など、設計応答の制約が含まれています。

感度解析

各反復の間に、最適化アルゴリズムは感度解析を実行して、材料密度の変化が、剛性を最大化する目的関数に及ぼす影響を評価します。

数学的には、感度解析は、材料密度を基準にした目的関数の派生物として表現されます。



感度解析中は、低い材料密度係数で荷重された要素は、最終的に構造的な重要性を失い、その後の反復で排除されます。

各要素の感度を個別に計算して、要素間の接続を考慮しないと、材料の不連続性が発生し、ボリュームがメイン ジオメトリに接続されなくなります これはチェッカーボード効果と呼ばれています。 チェッカーボード効果を減らすために、フィルタリング スキームは要素の影響半径を適用し、影響領域内の各要素の感度を平均化します。

最適化反復は、目的関数のバリエーションが収束して反復が収束基準に到達するまで継続します。