Método SIMP para optimización de topología

La optimización de topología es el tipo más común de optimización estructural. Se utiliza en la fase inicial del diseño para predecir la distribución óptima del material dentro de un determinado espacio de diseño inicial de una estructura, y tiene en cuenta las especificaciones funcionales y las restricciones de fabricación.

El método matemático más popular para la optimización de topología es el método de material isotrópico sólido con penalización (SIMP). Bendsoe y Kikuchi (1988) y Rozvany y Zhou (1992) propusieron inicialmente el método SIMP. El método SIMP predice una distribución óptima del material dentro de un espacio de diseño determinado, para casos de carga determinados, condiciones de contorno, restricciones de fabricación y requisitos de rendimiento.

Según Bendsoe (1989): "la optimización de la forma en su configuración más general debe consistir en una determinación para cada punto del espacio, independientemente de que haya material en ese punto o no". El enfoque tradicional para la optimización de topología es la individualización de un dominio en una rejilla de elementos finitos denominados microestructuras sólidas isotrópicas. Cada elemento se rellena con material para regiones que requieren material, o se vacía de material para regiones donde se puede eliminar material (que representa vacíos). La distribución de densidad del material dentro de un dominio de diseño, ρ, es individual, y a cada elemento se le asigna un valor binario:
  • ρ(e) = 1, donde se requiere material (negro)
  • ρ(e) = 0, donde se elimina material (blanco)

Por ejemplo, la imagen muestra un diseño de material optimizado de una viga cargada. Los elementos sólidos con densidades ρ(e) =1 son de color negro, mientras que los elementos vacíos con ρ(e) = 0 se eliminan.



La introducción de una función de distribución de densidad relativa continua evita la naturaleza binaria de activación/desactivación del problema. Para cada elemento, la densidad relativa asignada puede variar entre un valor mínimo ρmín. y 1, que permite la asignación de densidades intermedias para elementos (caracterizados como elementos porosos):

ρmín. es el valor de la densidad mínima permitida para los elementos vacíos que son mayores que cero. Este valor de densidad garantiza la estabilidad numérica del análisis de elementos finitos.

Dado que la densidad relativa del material puede variar continuamente, el módulo de elasticidad del material en cada elemento también puede variar continuamente. Para cada elemento e, la relación entre el factor de densidad relativa del material ρe y el módulo de elasticidad del modelo de material isotrópico asignado Ε0 se calcula mediante la ley de potencia:

El factor de penalidad p disminuye la contribución de elementos con densidades intermedias (elementos grises) a la rigidez total. El factor de penalidad dirige la solución de optimización a elementos que son de color negro sólido (ρe = 1) o blanco vacío (ρe= ρmín.). Los experimentos numéricos indican que un valor de factor de penalidad de p = 3 es adecuado.

Una reducción del módulo elástico del material de un elemento conduce a una reducción de la rigidez del elemento. Según el método SIMP, la rigidez global se modula de acuerdo con:

Donde es la matriz de rigidez del elemento, ρmín. es la densidad relativa mínima, ρe es la densidad relativa del elemento, p es el factor de penalidad y N es el número de elementos en el dominio de diseño.

Por ejemplo, para un elemento con una densidad relativa asignada ρe = 0,5, factor de penalidad = 3 y ρmín. = 0,001, la matriz de rigidez global se escala mediante un factor de (0,001 + (1 -0,001) * 0,5 ^3) = 0,12587.

Función Objetivo: maximizar rigidez

Un conocido objetivo de optimización es maximizar la rigidez general de una estructura, o minimizar su cumplimiento en una cantidad determinada de eliminación de masa.

El cumplimiento es una medida de la flexibilidad o suavidad general de una estructura, y es el recíproco de la rigidez. El cumplimiento global es igual a la suma del elemento elástico o las energías de deformación. Minimizar el cumplimiento global, C, es equivalente a maximizar la rigidez global. El algoritmo de optimización, mediante un proceso iterativo, trata de resolver las densidades de los elementos (que son las variables de diseño de optimización) que minimizan el cumplimiento global de la estructura.



[ue] es el vector de desplazamiento nodal del elemento e, [Ke] es la rigidez del elemento e, y el vector {ρ} contiene las densidades relativas de los elementos ρe.

Durante cada iteración de optimización, se deben cumplir la restricción de masa objetivo, el equilibrio de fuerza-rigidez global y las restricciones funcionales requeridas:

Ve es el volumen del elemento y Mtarget es la masa objetivo de la optimización.


[K{ρ}] es la matriz de rigidez global modulada por el vector de densidades relativas, {u} es el vector de desplazamiento, y {f} es el vector de fuerza externa.


La fórmula anterior contiene restricciones de respuesta de diseño, como límites en tensiones, desplazamientos, frecuencias propias, etc.

Análisis de sensibilidad

Durante cada iteración, el algoritmo de optimización realiza un análisis de sensibilidad para evaluar el impacto que la variación de las densidades del material tiene sobre la función objetivo para maximizar la rigidez.

Matemáticamente, el análisis de sensibilidad se expresa como la derivada de la función objetivo con respecto a las densidades del material:



Durante un análisis de sensibilidad, los elementos ponderados con factores de baja densidad de material terminan perdiendo su importancia estructural y se eliminan durante iteraciones posteriores.

Si calcula la sensibilidad de cada elemento de forma independiente y no tiene en cuenta la conectividad entre los elementos, puede provocar la discontinuidad del material y que los volúmenes se desconecten de la geometría principal. Esto se conoce como efecto de tablero de ajedrez. Para reducir el efecto de tablero de ajedrez, un esquema de filtrado aplica un radio de influencia de elemento y sitúa la media de las sensibilidades de cada elemento dentro de su región de influencia.

Las iteraciones de optimización continúan hasta que las variaciones de la función objetivo convergen y las iteraciones alcanzan sus criterios de convergencia.