Topoloji Optimizasyonu için SIMP Yöntemi

Topoloji optimizasyonu en yaygın yapısal optimizasyon türüdür. Tasarımın başlangıç aşamasında optimum malzeme dağılımını tahmin etmek için tasarımın ilk aşamasında kullanılır ve fonksiyonel spesifikasyonlar ile üretim sınırlamalarını dikkate alır.

Topoloji optimizasyonu için en popüler matematiksel yöntem, Solid Isotropic Material with Penalization'dır (SIMP). Bendsoe ve Kikuchi (1988) ile Rozvany ve Zhou (1992). başlangıçta SIMP yöntemini önermişti. SIMP yöntemi belirli yük durumları, sınır koşulları, üretim kısıtlamaları ve performans gereklilikleri için belirli bir tasarım alanı içerisinde optimum malzeme dağılımını tahmin eder.

Bendsoe'ye (1989) göre: "en genel ayarıyla şekil optimizasyonu, her noktada malzeme olup olmamasına bakılmaksızın, her nokta için uzayda bir kararlılıktan oluşur." Topoloji optimizasyonuna yönelik geleneksel yaklaşım, bir alanın, izotropik katı mikro yapılar olarak adlandırılan sonlu elemanların bir ızgarasına ayrıştırılmasıdır. Her eleman malzeme gerektiren bölgeler için malzeme ile doldurulur veya malzemeyi kaldırabileceğiniz (boşlukları temsil eden) bölgelerde malzeme boşaltır. Malzemenin bir tasarım alanı içindeki yoğunluk dağılımı, ρ, bağımsızdır ve her elemana bir ikili değer atanır:
  • malzemenin gerekli olduğu yerde (siyah) ρ(e) = 1
  • malzemenin çıkarıldığı yerde (beyaz) ρ(e) = 0

Örneğin, resim yüklü bir kirişin optimize edilmiş malzeme düzenini gösterir. ρ(e) =1 yoğunluklu katı elemanlar siyahken, ρ(e) = 0 sahip olan geçersiz elemanlar çıkarılır.



Sürekli göreli yoğunluk dağılımı fonksiyonunun sunulması, sorunun ikili, açık-kapalı özelliğini önler. Her elemanda, atanan göreli yoğunluk, elemanlar için ara yoğunlukların atanmasına izin veren minimum bir değer ρmin ile 1 arasında değişebilir (gözenekli elemanlar olarak karakterize edilir):

ρmin, sıfırdan büyük boş elemanlar için izin verilen minimum göreli yoğunluk değeridir. Bu yoğunluk değeri sonlu eleman analizinin sayısal kararlılığını sağlar.

Malzeme göreli yoğunluğu sürekli değişebildiğinden, her elemanın Young modülü de sürekli olarak değişebilir. Her elemanda, malzeme göreli yoğunluk faktörü ρe ile atanan izotropik malzeme modeli Ε0'ın elastikiyet modülü arasındaki ilişki güç kanununa göre hesaplanır:

Ceza faktörü p, ara yoğunluklara sahip elemanların (gri elemanlar) toplam sertliğe katkısını azaltır. Ceza faktörü, optimizasyon çözümünü katı siyah (ρe = 1) veya geçersiz beyaz (ρe= ρmin) olan elemanlara yönlendirir. Sayısal deneyler, p = 3 şeklinde bir ceza faktörü değerinin uygun olduğunu göstermektedir.

Elemanın malzeme elastikliği modülündeki azalma, eleman sertliğinin azalmasına neden olur. SIMP yöntemine göre global sertlik, aşağıdaki kurallara göre modüle edilir:

eleman sertlik matrisi olduğunda, ρmin, minimum göreceli yoğunluktur, ρe eleman göreceli yoğunluğudur, p ceza faktörüdür ve N, tasarım alanındaki elemanların sayısıdır.

Örneğin, ρe = 0,5 atanmış göreceli yoğunluğa, ceza faktörü = 3 ve ρmin = 0,001 değerlerine sahip bir eleman için global sertlik matrisi (0,001 + (1 -0,001)* 0,5 ^3) = 0,12587 faktörüyle ölçeklendirilir.

Hedef Fonksiyon: Sertliği Maksimuma Çıkarma

Yaygın bir optimizasyon hedefi, bir yapının genel sertliğini maksimuma çıkarmak veya belirli bir kütle çıkarma miktarı altında uyumluluğunu minimuma indirmektir.

Uyumluluk, bir yapının genel esnekliğinin veya yumuşaklığının bir ölçüsüdür ve sertliğin karşıtıdır. Global uyumluluk, eleman elastik veya gerinim enerjilerinin toplamına eşittir. Global uyumluluğu minimuma indirmek, C, global sertliği maksimuma çıkarmaya eşdeğerdir. Optimizasyon algoritması, tekrarlamalı bir işlemle, yapının global uyumluluğunu minimuma indiren eleman yoğunluklarını (optimizasyon tasarım değişkenleri olan) çözümlemeye çalışır.



[ue], e elemanının düğüm yer değiştirmesi vektörüdür, [Ke] e elemanının sertliğidir ve vektör {ρ} elemanların göreli yoğunluklarını ρe değerini içerir.

Her optimizasyon yinelemesi sırasında, hedef kütle kısıtlaması, global kuvvet-sertlik dengesi ve gerekli fonksiyonel sınırlandırmalar karşılanmalıdır:

ve, eleman hacmidir ve Mhedef, optimizasyonun hedef kütlesidir.


[K{ρ}], göreli yoğunluklar vektörü ile modüle edilen global sertlik matrisidir, {u} yer değiştirme vektörüdür ve {F} dış kuvvet vektörüdür.


Yukarıdaki formül; gerilimler, yer değiştirmeler, öz frekanslar vb. sınırları gibi tasarım tepkisi sınırlandırmalarını içerir.

Hassasiyet Analizi

Her yineleme sırasında optimizasyon algoritması, sertliği maksimize etmek için malzeme yoğunluklarının değişkenliğinin hedef fonksiyon üzerindeki etkisini değerlendirmek için bir hassasiyet analizi gerçekleştirir.

Matematiksel açıdan hassasiyet analizi, malzeme yoğunluklarına göre hedef fonksiyonun türevi olarak ifade edilir:



Hassasiyet analizi sırasında, düşük malzeme yoğunluk faktörleriyle ağırlıklandırılan elemanlar, yapısal önemlerini kaybeder ve diğer yinelemeler sırasında ortadan kaldırılır.

Her elemanın hassasiyetini ayrı ayrı hesaplarsanız ve elemanlar arasındaki bağlantıyı dikkate almazsanız bu durum, malzemenin süreksizliğine ve hacimlerin ana geometriye bağlı olmamasına neden olabilir. Bu, satranç tahtası efekti olarak bilinir. Satranç tahtası efektini azaltmak için bir filtreleme şeması, bir eleman etkisi yarıçapını uygular ve etki bölgesinde her elemanın hassasiyetlerinin ortalamasını alır.

Optimizasyon yinelemeleri, hedef fonksiyon varyasyonları yakınsayıp yinelemeler yakınsama kriterlerine ulaşıncaya kadar devam eder.