Metoda SIMP pro optimalizaci topologie

Optimalizace topologie je nejčastějším typem strukturální optimalizace. Používá se v úvodní fázi návrhu k předpovědi optimálního rozložení materiálu uvnitř daného úvodního návrhového prostoru struktury a berou se přitom do úvahy funkční specifikace a výrobní omezení.

Nejoblíbenější matematickou metodou pro optimalizaci topologie je SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization; metoda pevné izotropní mikrostruktury s penalizací). Metodu SIMP původně navrhli autoři Bendsoe a Kikuchi (1988) a Rozvany a Zhou (1992). Metoda SIMP předpovídá optimální rozložení materiálu uvnitř daného úvodního návrhového prostoru pro zadané případy zatížení, mezní podmínky, výrobní omezení a výkonnostní požadavky.

Podle publikace Bendsoe (1989): „optimalizaci tvaru v tom nejobecnějším nastavení má tvořit určení tvaru v každém bodu nezávisle na tom, zda se v něm materiál nachází či ne“. Tradičně se optimalizace topologie řeší diskretizací domény do sítě konečných prvků, tzv. izotropních pevných mikrostruktur. Každý prvek je poté buď vyplněn materiálem v oblastech, které materiál vyžadují, nebo materiálu zbaven v těch oblastech, kde je odebrání možné (dutinách). Rozložení hustoty materiálu uvnitř návrhové domény ρ je diskrétní, každému prvku je přiřazena binární hodnota:
  • ρ(e) = 1 tam, kde je materiál povinný (černá)
  • ρ(e) = 0 tam, kde je materiál odebrán (bílá)

Ukázkový obrázek zobrazuje optimalizované rozložení materiálu v zatíženém nosníku. Pevné prvky s hustotami ρ(e) =1 jsou černé, prázdné prvky s hustotou ρ(e) = 0 jsou odebrány.



Zavedením funkce souvislé distribuce relativní hustoty se vyhneme binární ano-ne povaze problému. U každého prvku se přiřazená relativní hustota může pohybovat mezi minimální hodnotou ρmin a 1, která dovoluje přiřazení mezilehlých hustot prvkům (označovaných jako porézní prvky):

ρmin je minimální přípustná hodnota relativní hustoty pro prázdné prvky, která je větší než nula. Tato hodnota hustoty zajišťuje numerickou stabilitu analýzy metodou konečných prvků.

Vzhledem k tomu, že se relativní hustota materiálu může spojitě měnit, mohou se spojitě lišit také Youngovy moduly materiálu každého prvku. Pro každý prvek je vypočítána e relace mezi součinitelem relativní hustoty materiálu ρe a Youngovým modulem pružnosti přiřazeného modelu izotropního materiálu Ε0 na základě zákona síly:

Součinitel penalizace p snižuje přínos prvků s mezilehlými hustotami (šedé prvky) k celkové tuhosti. Součinitel penalizace směřuje řešení optimalizace na prvky, které jsou buď tuhé a černé (ρe = 1) nebo prázdné a bílé (ρe= ρmin). Výpočetní experimenty naznačují, že hodnota součinitele penalizace p = 3 je vyhovující.

Redukce elastického modulu materiálu prvku vede ke snížení tuhosti prvku. Při výpočtu metodou SIMP je globální tuhost modulována podle vzorce:

kde je matice tuhostí prvku, ρmin je minimální relativní hustota, ρe je relativní hustota prvku, p je součinitel penalizace a N je počet prvků v návrhové doméně.

Například pro prvek s přiřazenou relativní hustotou ρe = 0,5, součinitel penalizace = 3 a ρmin = 0,001 je matice globální tuhosti modifikována součinitelem (0,001 + (1 -0,001)* 0,5 ^3) = 0,12587.

Funkce účelu: Maximalizovat tuhost

Mezi oblíbený účel optimalizace patří maximalizace celkové tuhosti konstrukce nebo minimalizace její poddajnosti při daném množství odstranění části hmotnosti.

Poddajnost měří celkovou ohebnost (měkkost) konstrukce, přičemž je opakem tuhosti. Globální poddajnost je rovna součtu elastických nebo deformačních energií. Minimalizace globální poddajnosti, C, je ekvivalentní maximalizaci globální tuhosti. Optimalizační algoritmus se prostřednictvím iterativního procesu snaží vyřešit hustotu prvků (proměnné návrhu optimalizace), které minimalizují globální poddajnost konstrukce.



[ue] je vektor uzlového posunutí prvku e, [Ke] je tuhost prvku e, a vektor {ρ} obsahuje relativní hustoty prvků ρe.

Během každé iterace optimalizace je nutné splnit globální rovnováhu síly-tuhosti a požadovaná funkční omezení:

ve je objem prvku a Mtarget je cílová hmotnost optimalizace.


[K{ρ}] je globální matice tuhosti modulovaná vektorem relativních hustot, {u} je vektor posunutí a {F} je vektor vnější síly.


Výše uvedený vzorec obsahuje omezení jako jsou limity napětí, posunutí, vlastních frekvencí atd.

Analýzy citlivosti

Během každé iterace provádí algoritmus optimalizace analýzu citlivosti, při které hodnotí dopad různých hustot materiálů na funkci účelu kvůli maximalizaci tuhosti.

Matematicky lze říci, že analýza citlivosti je vyjádřena jako derivace funkce účelu s ohledem na hustoty materiálu:



Během analýzy citlivosti prvky zatížené nízkými součiniteli hustoty materiálu nakonec ztratí svou strukturální důležitost a jsou v dalších iteracích eliminovány.

Když vypočítáte citlivost pro každý prvek nezávisle a neberete do úvahy propojení mezi prvky, může to vést k nespojitosti materiálu a vzniku objemů, které nejsou propojeny na hlavní geometrii. Označuje se to jako šachovnicový efekt. Šachovnicový efekt se snižuje tak, že schéma filtrování použije poloměr vlivu prvku a zprůměruje citlivosti každého prvku uvnitř oblasti vlivu.

Iterace optimalizace pokračují, dokud odchylky funkce účelu konvergují a dokud iterace nedosáhnou kritéria konvergence.