通过采用对数应变定义，应变和应力张量的偏量和体积分量及其关系可以通过分离形式正确表示。
首先，考虑用下式表示总的塑性和弹性应变向量：
ε(bar)p = εul ξs(n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
可以通过下式计算基尔霍夫应力向量：
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
在上述公式中：
| εul
|
代表最大材料塑性应变变形的标量参数 [EUL] |
| ξ秒
|
作为测量塑性应变的介于 0 和 1 之间的参数 |
| θ |
体积应变 = ε11 + ε22 + ε33
|
| e(bar) |
偏应变向量 |
| t(bar) |
偏应力向量
|
| n(bar) |
偏应力的范数 = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar)) |
| m(bar) |
向量形式的单位矩阵：{1,1,1,0,0,0}T
|
| K 和 G |
体积和抗剪弹性模量： K = E / [3(1-2ν)]，G = E / [2(1+ν)] |
增量形式的线性流动规则可以相应表示为：
装载: Δξs = (1.0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)
卸载： Δξ
s = ξ
s ΔF / (F - R
f2)
在定义非零 β 时所使用的指数流动规则为：
装载: Δξs = β1(1.0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)2
卸载： Δξs = β2ξs ΔF / (F - Rf2)2
- 一般会发现形状记忆合金对速率效应不敏感。 因此，在上述公式中，“时间”代表一个假定变量，其长度不影响解。
- 上述所有公式都是针对张力装载-卸载，因为对于压缩装载-卸载条件可以使用类似的表达式（使用压缩属性参数）。
- 此处的增量求解算法在计算应力和本构公式时使用返回-映射步骤作为一个求解步骤。因此，求解由两部分组成。首先，计算初始状态；然后，如果初始状态违反流动准则，则进行调整，将应力返回至流动表面。
参考
- Auricchio, F. 的《有限应变形状记忆合金超弹性模型的可靠集成算法》(A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model)，《国际弹性杂志》(International Journal of Plasticity) 第 17 卷， 第 971-990 页，2001 年。
- Auricchio, F., Taylor, R.L., and Lubliner, J., "Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G.、Bathe, K.J. 和 Wunderlich，专栏。 《关于大型应变弹性塑料和蠕变分析》(On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis)，《非线性问题的有限元素方法》(Finite Elements Methods for Nonlinear Problems)，Springer-Verlag，1985 年。
- Hughes, T.，专栏。 《本构模型的数值实现：率无关偏塑性》(Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity)，《大型非线性材料行为计算的理论基础》(Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior)，荷兰 Dordrecht 的 Martinus Nijhoff 出版社，1984 年。