Процедура анализа - Случайные колебания

Система уравнений движения линейной системы с n степенями свободы возбуждена изменяющейся во времени силой:

(Уравнение 1).

Используя преобразование координат, задайте систему n совместных уравнений, снижая до n независимых уравнений (каждое уравнение может быть решено независимо):

для r = 1, 2,...., n (Уравнение 2)

где x_r(t) являются модальными координатами, связанными с узловыми координатами u_r(t) посредством:

(Уравнение 3).

Вектор модальных нагрузок {m(t)} получается из:

(Уравнение 4).

При условии, что возбуждения выражены функциями удельной мощностью спектра (PSD), решение может быть сформулировано в частотной области. Если матрица возбуждения PSD дана в виде [S_f(ω)], матрица модальный силы PSD определяется в виде:

(Уравнение 5).

PSD модальной реакции перемещения [S_x(ω)] получено из:

(Уравнение 6),

где [H(ω)] является модальной матрицей передаточных функций, а [H*(ω)] – ее комплексно-сопряженной матрицей. Для нормальных мод матрица передаточных функций является диагональной с диагональными элементами H_r(ω)

(Уравнение 7) и

(Уравнение 8).

PSD реакции перемещения [S_u(ω)] получается из (Уравнения 3).

(Уравнение 9).

PSD реакций скорости и ускорения выражена посредством:

(Уравнение 10) и

(Уравнение 11).

PSD модальной скорости и ускорения связана с PSD модального перемещения посредством:

(Уравнение 12) и (Уравнение 13)

Уравнение 10 и Уравнение 11 могут быть перезаписаны в виде:

(Уравнение 14) и (Уравнение 15).

Модальные реакции автокорреляции с нулевой задержкой (т=0) в исчислении PSD модальной реакции вычислены из интегралов:

(Уравнение 16).

(Уравнение 17).

(Уравнение 18).

Из вышеприведенных уравнений, среднеквадратические реакции определены из диагональных элементов матрицы:

(Уравнение 19),

(Уравнение 20),

(Уравнение 21).