拓撲最佳化的 SIMP 方法

拓撲最佳化是最常見的一種結構最佳化。 在設計的初始階段使用這個方法，可預測一個結構的特定初始設計空間內材料分佈的最佳情況，並考慮功能規格和製造限制。

拓撲最佳化最常見的數學方法是固體等向性懲罰函數法 (SIMP)。 Bendsoe and Kikuchi (1988) 和 Rozvany and Zhou (1992) 最先提議使用 SIMP 方法。 SIMP 方法針對特定的負載情況、邊界條件、製造限制和效能要求，預測指定的設計空間內最佳的材料分佈情況。

根據 Bendsoe (1989)： 「在最常見的一般設定中，形狀最佳化應該要決定空間中每個點，無論那個點有沒有材料。」 拓撲最佳化的傳統方法是將一個區域離散成為一個有限元素網格，稱為等向性固體微結構。 每個元素可在需要材料的區域填滿材料，或是在移除材料的區域把材料清空 (代表空孔)。 在設計區域內的材料密度分佈 ρ 是離散的，而且每個元素會指派一個二進位數值：
  • ρ(e) = 1 其中必須填入材料 (黑色)
  • ρ(e) = 0 其中已移除材料 (白色)

例如，影像顯示一個有負載橫樑的最佳化材料配置。 密度 ρ(e) =1 的固體元素是黑色，而 ρ(e) = 0 的空洞元素則已移除。



引進持續相對密度分佈函數避免了問題的二元開關性質。 每一個元素被指派的相對密度可能會不同，介於最小值 ρmin 和 1 之間，可以對元素指派中密度 (特徵為多孔元素)：

ρmin 是大於零的空元素允許的最小相對密度值。 此密度值確保有限元素分析的數值穩定性。

由於材料相對密度可以連續不同，每個元素的材料楊氏模數也會連續不同。 對於每個元素 e，材料相對密度係數 ρe 與指派的等向性材料模型 E0 的彈性楊氏模數之間的關係，是由冪次定律計算：

懲罰因子 p 會降低具有中密度的元素 (灰色元素) 對總勁度的影響。 懲罰因子把最佳化解決方案引導至純黑色 (ρe = 1) 或空白 (ρe= ρmin) 的元素。 數值實驗表示 p = 3 的懲罰因子數值是合適的。

減少一個元素的材料彈性模數，也會降低元素的勁度。 根據 SIMP 方法，調整此整體勁度是根據：

其中 是元素勁度矩陣，ρmin 是最小相對密度，ρe 是元素相對密度，p 是懲罰因子，以及 N 是設計區域中元素的數量。

例如，某個元素的指派相對密度 ρe = 0.5，懲罰因子 = 3，以及 ρmin = 0.001，整體勁度矩陣按照 (0.001 + (1 -0.001)* 0.5 ^3) = 0.12587 的因子調整。

目標函數： 盡量提高勁度

最常見的最佳化目標是盡量提高結構的整體勁度，或將其屈從性最小化至低於指定之質量移除量。

屈從性是衡量一個結構的整體彈性或柔軟性的標準，而且是勁度的倒數。 整體屈從性會等於元素彈性或應變能的總和。 最小化整體屈從性 C，等於最大化整體勁度。 最佳化演算法會透過迭代程序尋求解出最小化結構整體屈從性的元素密度 (亦即最佳化設計變數)。



[ue] 是元素 e 的節點位移向量，[Ke] 是元素 e 的勁度，而向量 {ρ} 包含元素的相對密度 ρe。

在每次最佳化迭代期間，必須滿足目標質量限制、整體力勁度平衡以及所需的功能限制：

ve 是元素體積，而 Mtarget 是最佳化的目標質量。


[K{ρ}] 是由相對密度的向量所調整的整體勁度矩陣，{u} 是位移向量，而 {F} 是外部力向量。


上方公式包含應力、位移、特徵頻率限制等設計回應限制。

敏感度分析

在每一次迭代時，最佳化演算法會執行敏感度分析，評估材質密度不同對於目標函數的影響，以利盡量提高勁度。

從數學方面來看，敏感度分析就是目標函數相對於材質密度的導數：



在執行敏感度分析時，使用低材質密度係數加權的元素最終會失去其結構重要性，並在後來的迭代中遭到消除。

若您分開計算每個元素的敏感度且不考慮元素之間的連接性，這可能導致材質不連續，並使得體積無法與主幾何相連接。 這就是所謂的棋盤效應。 為了減少棋盤效應，過濾配置會套用一個元素影響半徑並在影響區域內把每個元素的敏感度均化。

最佳化迭代繼續進行，直至目標函數的變異收斂而且迭代達到其收斂準則。