镍钛诺材料模型

形状记忆合金 (SMA)（例如镍钛诺）表现超弹性效应。超弹性一词用来描述在装载-卸载周期作用下能承受大变形但不会出现永久变形的材料。实际上，在装载-卸载周期作用下，甚至高达 10-15% 应变，材料会表现出滞后反应，在装载和卸载时经过陡峭-平缓-陡峭变化，但没有永久变形。

镍钛诺材料模型可用于实体单元和壳体单元。

在单轴装载条件下镍钛诺杆的典型应力-应变反应。请注意，材料在张力和压缩下的行为有所不同

形状记忆合金的应力-应变曲线会显示传统材料中所没有的独特宏观行为。此行为归因于基础宏观力学。

SMA 表现可逆的马氏体相位变换，也就是说，在晶体比较有序相位的“奥氏体”和晶体较少有序相位的“马氏体”之间的实体到实体无扩散变换。

反应曲线的平缓部分代表发生相位变换的区域：奥氏体到马氏体的转换（负载），以及马氏体到奥氏体的转换（卸载）。

但是，为了简化，我们将反应曲线上的平缓变化称为“塑性”，而将陡峭部分称为“弹性”。

根据这种定义，材料首先表现出弹性行为，直到达到一定的应力水平（装载时的初始屈服应力）。如果继续装载，材料会显示弹塑性行为，直到塑性应变达到其极限值。此后，在增加载荷时材料又表现出弹性行为。

在卸载时，材料也始终会以弹性方式开始卸载，直到应力降低到卸载时的初始屈服应力。然后，材料将以弹塑性方式卸载，直到失去所有积累的塑性应变（从装载阶段）。此后，材料将以弹性方式卸载，直到其恢复原始形状（无永久变形）以及零载荷下的零应力。

镍钛诺模型公式

由于镍钛诺通常因其能承受有限应变而被使用，因此对于此模型可使用借助对数应变的大型应变理论以及更新的拉格朗日公式。

这样，可以建立本构模型，使对数应变与基尔霍夫应力分量相联系。但是，本构矩阵和应力向量最后都会进行变换以表示 Cauchy（真实）应力。

sst1，sft1=张力装载的初始屈服应力和最终屈服应力。[SIGT_S1，SIGT_F1]

sst2，sft2=张力卸载的初始屈服应力和最终屈服应力。[SIGT_S2，SIGT_F2]

ssc1，sfc1=压缩装载的初始屈服应力和最终屈服应力。[SIGC_S1，SIGC_F1]

ssc2, sfc2=压力卸载的初始屈服应力和最终屈服应力。[SIGC_S2，SIGC_F2]

eul = (最大张力塑料应变)(3/2)0.5

指数流动规则使用附加的输入恒定值 bt1、bt2、bc1、bc2：

bt1 = 材料参数，测量张力装载的转换速度 [BETAT_1]

bt2 = 材料参数，测量张力卸载的转换速度 [BETAT_2]

bc1 = 材料参数，测量压缩装载的转换速度 [BETAC_1]

bc2 = 材料参数，测量压缩卸载的转换速度 [BETAC_2]

屈服准则

为了建立相位变换的压力依赖的可能性模型，在屈服准则中使用 Drucker-Prager 类型的装载函数：

F(t) = sqrt(2) s + 3 a p

F- Rif = 0

其中：

s = 有效应力

p = 平均应力（或流体静压）

a = sqrt(2/3) ( ssc1- sst1) / ( ssc1+ sst1)

Rfi = [ sfi(sqrt (2/3) + a )] : i = 1: 装载, i = 2: 卸载

流动规则

通过采用对数应变定义，应变和应力张量的偏量和体积分量及其关系可以通过分离形式正确表示。

首先，考虑用下式表示总的塑性和弹性应变向量：

ep = eul xs ( n + a m)

ee = e - ep

这样，可以通过下式计算基尔霍夫应力向量：

t = pm + t

p = K ( q - 3 a eulxs)

t = 2G ( e - eul xs n)

在上述公式中：

eul = 代表最大材料塑性应变变形的标量参数 [EUL]

xs = 作为测量塑性应变的介于 0 和 1 之间的参数

q = 体积应变 = e11 + e22 + e33

e = 偏应变向量

t= 偏应力向量

n = 偏应力的范数: t/(sqrt(2) s)

m = 向量形式的单位矩阵：{1,1,1,0,0,0}T

K & G = 体积和抗剪弹性模量: { K = E/[3(1-2n), G = E/[2(1+v)]}

增量形式的线性流动规则可以相应表示为：

装载: Dxs= ( 1.0 - xs)DF / ( F - R1f)

卸载: Dxs= xs DF / ( F - R2f)

在定义非零 b 时所使用的指数流动规则为：

装载: Dxs= b1( 1.0 - xs)DF / ( F - R1f)2

卸载: Dxs= b2xs DF / ( F - R2f)2

注意：

一般会发现形状记忆合金对速率效应不敏感。因此，在上述公式中，“时间”代表一个假定变量，其长度不影响解。

上述所有公式都是针对张力装载-卸载，因为对于压缩装载-卸载条件可以使用类似的表达式（使用压缩属性参数）。

此处的增量求解算法在计算应力和本构公式时使用返回-映射步骤作为一个求解步骤。因此，求解由两部分组成。首先，计算初始状态；然后，如果初始状态违反流动准则，则进行调整，将应力返回至流动表面。

参考：

1. Auricchio, F. 的《有限应变形状记忆合金超弹性模型的可靠集成算法》(A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model)，《国际弹性杂志》(International Journal of Plasticity) 第 17 卷，第 971-990 页，2001 年。 971-990, 2001.

2. Auricchio, F., Taylor, R.L., and Lubliner, J., “Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.

3. Bergan, P.G.、Bathe, K.J. 和 Wunderlich，专栏。《关于大型应变弹性塑料和蠕变分析》(On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis)，《非线性问题的有限元素方法》(Finite Elements Methods for Nonlinear Problems)，Springer-Verlag，1985 年。

4. Hughes, T.，专栏。“Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity,” Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984 年。