니티놀 재질 모델

니티놀과 같은 SMA(Shape-memory-alloys)는 superelastic 효과를 나타냅니다. Superelastic은 반복적으로 하중을 가하는 경우 영구 변형 없이 대량으로 변형할 수 있는 재질을 나타내는 용어입니다. 사실 반복적으로 하중을 가하는 경우 10-15% 변형되어도 재질은 hysteretic 응답, 반복적 하중 부하에 대해 강-약-강의 변화를 보이지만 영구적으로 변형되지는 않습니다.

니티놀 재질 모델을 솔리드와 쉘 요소에 사용할 수 있습니다.

SMA(shape-memory-alloys)의 응력-변형 곡선은 일반적인 재질에는 없는 뚜렷한 macroscopic 동작을 보여줍니다. 이런 동작은 기본 매크로 역학 때문입니다.

SMA는 가역 martensitic 단계 변형, 즉, 보다 결정학적으로 차수가 지정된 "austenite" 및 덜 결정학적으로 차수가 지정된 단계 "martensite" 간의 솔리드-솔리드 확산 없는 변형을 나타냅니다.

응답 곡선의 연성 부분은 단계 변형이 있는 영역입니다. austenite의 martensite 변환(하중 부가)과 martensite의 austenite(하중 제거)이 변환이 발생합니다.

간단하게 하기 위해 응답 곡선의 연성 동작을 "플라스틱"으로 강성 부분을 "탄성"으로 지칭하겠습니다.

이런 정의에 따라 재질은 특정 응력 수준에 도달하기 전에는 탄성을 갖게 됩니다(하중 부가시 초기 항목 응력) 하중 부가가 계속되면 재질은 플라스틱 변형이 극한 값에 도달하기 전까지는 탄성을 보여 줍니다. 이 점 이후에서 재질은 증가된 하중 이하에서 다시 탄성을 갖게 됩니다.

하중이 제거되는 경우 응력이 초기 항복 응력으로 감소하기 전까지는 재질은 항상 탄성적으로 하중이 제거되기 시작합니다. 재질은 하중 부가 단계에서 누적된 플라스틱 변형이 없어지기 전까지는 탄성적으로 하중이 제거됩니다. 이 점 이후에는 재질은 원래 형상(영구 변형 없음)과 하중 및 응력이 없는 상태로 되돌아가기 전까지는 탄성적으로 하중이 제거됩니다.

니티놀 모델 공식

니티놀은 대개 유한 변형을 받는 경우에 사용되므로 대수 변형 및 대단위 및 업데이트된 라그랑주 공식을 활용하는 변형 공식이 이 모델에 사용됩니다.

따라서 대수 변형과 Kirchhoff 응력 부품이 관련되는 구성 모델이 만들어집니다. 그러나 최종적으로 구성 매트릭스와 응력 벡터는 모두 코쉬 응력(실제 크기)으로 변형되어 표시됩니다.

s s t1 , s f t1 = 인장 하중 부가를 위한 초기 및 최종 항복 응력. [SIGT_S1, SIGT_F1]

s s t2 , s f t2 = 인장 하중 제거를 위한 초기 및 최종 항복 응력. [SIGT_S2, SIGT_F2]

s s c 1 , s f c 1 = 압축 하중 부가를 위한 초기 및 최종 항복 응력. [SIGC_S1, SIGC_F1]

s s c2 , s f c2 = 압축 하중 제거를 위한 초기 및 최종 항복 응력. [SIGC_S2, SIGC_F2]

eul = (최대 인장 응력)(3/2)0.5

지수 유동 규칙에서는 추가 입력 상수, b t1, b t2, b c1, b c2을 활용합니다.

bt1 = 인장 하중 부가의 변형 속도를 측정하는 재질 파라미터 [BETAT_1]입니다.

bt2 = 인장 하중 제거의 변형 속도를 측정하는 재질 파라미터 [BETAT_2]입니다.

bc1 = 압축 하중 부가의 변형 속도를 측정하는 재질 파라미터 [BETAC_1]입니다.

bc2 = 압축 하중 제거의 변형 속도를 측정하는 재질 파라미터 [BETAC_2]입니다.

항복 기준

단계 변형의 압력 의존 가능성을 모델링하기 위해 Drucker-Prager 유형 하중 부가 함수를 항복 기준에 사용합니다.

bsp; F( t ) = sqrt(2) s + 3 a p

bsp;F- Rif = 0

여기서:

s = 유효 응력

p = 정수압

a = sqrt(2/3) ( s s c 1 - s s t1 ) / ( s s c 1 + s s t1 )

R f i = [ s f i ( sqrt (2/3) + a )] : i = 1: 하중 부가, i = 2: 하중 제거

유동 규칙

대수 변형 정의를 사용해도 변형 및 응력 텐서의 편차 및 볼륨 부품과 해당 관계는 분리된 형태로 표시됩니다.

우선 총 플라스틱 및 탄성 변형 벡터를 다음으로 가정합니다.

e p = e ul x s ( n + a m )

e e = e bsp;- e p

그 결과 Kirchhoff 응력 벡터는 다음으로 계산됩니다.

t = p m + t

p = K ( q - 3 a e ul x s )

t = 2G ( e - e ul x s n)

위의 공식에서

eul = 최대 재질 플라스틱 변형을 나타내는 스칼라 파라미터[EUL]

xs = 플라스틱 변형 측정에 사용하는 0과 1 사이의 파라미터

q = bsp;체적 변형률 = e 11 + e 22 + e 33

e = 편차 변형 벡터

t = 편차 응력 벡터

n = 편차 응력의 크기: t /( sqrt(2) s ) 

m = 벡터 형태의 항등 매트릭스 {1,1,1,0,0,0}T

K & G = 벌크 및 전단 탄성 계수 { K = E/[3(1-2n), G = E/[2(1+v)]}

증분형의 선형 유동 규칙은 다음에 따라 표시됩니다.

하중: Dx s = ( 1.0 - x s ) D F / ( F - R 1 f )

하중 제거 Dx s = x s D F / ( F - R 2 f )

0이 아닌 b이 정의되는 경우에 사용된 지수 유동률 규칙은 다음과 같습니다.

하중: Dx s = b 1 ( 1.0 - x s ) D F / ( F - R 1 f ) 2

하중 제거 Dx s = b 2 x s D F / ( F - R 2 f ) 2

참고:

• 일반적으로 SMA(shape-memory-alloys)는 속도 효과와 관계 없습니다. 그러므로 위의 공식에서 "시간"은 유사 변수이며 그 길이에 관계 없이 결과는 같습니다.

• 유사한 수식을 압축 하중 부가-하중 제거 조건에 사용할 수 있으므로(압축 속성 파라미터 포함) 인장 하중 부가-하중 제거를 위해 여기에서는 모든 수식을 표시했습니다.

• 여기에서 증분 솔루션 알고리듬에는 솔루션 스텝을 위해 응력 및 x00a0;구성 방정식 계산에 반환-맵 프로시저를 사용합니다. 따라서 솔루션은 두 부분으로 구성됩니다. 처음에는 평가 상태가 계산됩니다. 평가 상태가 유동 기준을 위반하면 조정이 이루어져 응력이 유동 곡면으로 반환됩니다.

참조:

1. Auricchio, F., “A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model,” International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.

2. Auricchio, F., bsp;Taylor, R.L., and Lubliner, J., “Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior,” bsp;Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.

3. Bergan, P.G., Bathe, K.J., and Wunderlich, eds. “On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis,” bsp;Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.

4. Hughes, T., eds. “Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity,” bsp;Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.