Procedura analizy - historia modalna
Układ równań ruchu liniowego układu o n stopniach swobody wzbudzonego przez siłę zmienną w czasie:
(Równanie 1)
gdzie:
[M] = symetryczna macierz bezwładności bsp;n bsp;x n
[M] = symetryczna macierz tłumienia n x n
[K] = symetryczna macierz sztywności n x n
{f(t)} = n-wymiarowy wektor siły
, 
, 
są odpowiednio n-wymiarowymi wektorami przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.
(Równanie 1) jest układem n równoważnych zwykłych równań różniczkowych ze stałymi współczynnikami. Równania ruchu są sprzężone za pośrednictwem masy, sztywności i tłumienia. Sprzężenie zależy od układu współrzędnych użytego do matematycznego opisania równań ruchu.
Podstawą analizy modalnej jest przekształcenie sprzężonego układu (Równanie 1) w zbiór równań niezależnych poprzez użycie macierzy modalnej [F
] jako macierzy transformacji. [
F
] zawiera normalne mody {
f
}
i dla i = 1, ...., n uporządkowane jako:
(Równanie 2)
Normalne mody i wartości własne układu są wyprowadzone z rozwiązania problemu wartości własnych:
(Równanie 3)
gdzie [w2] jest macierzą diagonalną kwadratów częstotliwości drgań własnych.
Dla układów liniowych, układ n równań ruchu może zostać rozprzężony do n równań pojedynczych stopni swobody względem wektora modalnego przemieszczenia {x}:
bsp;
(Równanie 4)
Podstawienie wektora {u} z (równania 4) i przemnożenie go przez [F]T (Równanie 1) daje:
(Równanie 5)
Normalne mody spełniają własność ortogonalności, a macierz modalna [F] jest znormalizowana, by spełnić następujące równania:
bsp;(Równanie 6)
(Równanie 7) i
(Równanie 8).
Podstawiając (Równania.6--8), (Równanie 5) staje się układem niezależnych równań różniczkowych drugiego stopnia SDOF.
dla i =1, ..., n (Równanie 9)
(Równanie 9) jest rozwiązywane przy użyciu takich krokowych metod całkowania, jak Wilson-Theta oraz Newmark.
Całkowanie wykonywane jest w dziedzinie, gdzie wyniki ostatniego kroku są używane do przewidzenia wyników następnego kroku.
Wektor przemieszczenia układu (u) jest wyprowadzany z (Równania 4).
Tematy pokrewne
Dokładność rozwiązania w analizie dynamicznej
Efekty tłumienia