Процедура анализа - Случайные колебания

Система уравнений движения линейной системы с n степенями свободы возбуждена изменяющейся во времени силой:

(Уравнение 1).

Используя преобразование координат, задайте систему n совместных уравнений, снижая до n независимых уравнений (каждое уравнение может быть решено независимо):

для  r = 1, 2,...., n (Уравнение 2)

где xr(t) являются модальными координатами, связанными с узловыми координатами ur(t) посредством:

(Уравнение 3).

Вектор модальных нагрузок {m(t)} получается из:

  (Уравнение 4).

При условии, что возбуждения выражены функциями удельной мощностью спектра (PSD), решение может быть сформулировано в частотной области. Если матрица возбуждения PSD дана в виде [Sf(w)], матрица модальный силы PSD определяется в виде:

(Уравнение 5).

PSD модальной реакции перемещения [Sx(w)] получено из

(Уравнение 6),

где [H(w)] является модальной матрицей передаточных функций, а [H*(w)] является ее комплексно-сопряженной матрицей. Для нормальных мод матрица передаточных функций является диагональной с диагональными элементами Hr(w)

( Уравнение 7) и (Уравнение 8).

PSD реакции перемещения [Su(w)] получается из (Уравнения 3).

(Уравнение 9).

PSD реакций скорости и ускорения выражена посредством:

(Уравнение 10) и

  (Уравнение 11).

PSD модальной скорости и ускорения связана с PSD модального перемещения посредством:

(Уравнение 12) и (Уравнение 13)

Уравнение 10 и Уравнение  11 могут быть перезаписаны в виде:

(Уравнение 14) и (Уравнение 15).

Модальные реакции автокорреляции с нулевой задержкой (t=0) в исчислении PSD модальной реакции вычислены из интегралов:

  (Уравнение 16)

(Уравнение 17).

(Уравнение 18).

Из вышеприведенных уравнений, среднеквадратические реакции определены из диагональных элементов матрицы:

(Уравнение 19),

(Уравнение 20),

(Уравнение 21).

Среднеквадратическая реакция напряжения

Напряжения элемента {s} определяются из узлового перемещения {u} при помощи:

(Уравнение 22) или в единицах модального перемещения {x} посредством:

(Уравнение 23), где [F] является матрицей собственных векторов.

Матрица корреляции напряжения [Rs] получается из:

(Уравнение 24).

Связанные разделы

Модальный анализ

Анализ случайного колебания

Определения