Durch Übernahme der logarithmischen Dehnungsdefinition können die deviatorischen und volumetrischen Komponenten der Dehnungs- und Spannungstensoren und ihre Beziehungen korrekt in einer entkoppelten Form ausgedrückt werden.
Zuerst werden die plastischen und elastischen Gesamtdehnungsvektoren betrachtet, die durch folgende Gleichungen dargestellt werden:
ε(bar)p = εul ξs( n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
Der Kirchhoffsche Spannungsvektor kann dann folgendermaßen berechnet werden:
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
In den obigen Formeln gilt Folgendes:
| εul |
skalarer Parameter, der die maximale plastische Materialdehnungsverformung [EUL] darstellt |
| ξs |
Parameter zwischen 0 und 1, als Maß der plastischen Dehnung |
| θ |
volumetrische Dehnung = ε11 + ε22 + ε33 |
| e(bar) |
deviatorischer Dehnungsvektor |
| t(bar) |
deviatorischer Spannungsvektor
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| n(bar) |
Norm der deviatorischen Spannung = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar))
|
| m(bar) |
die Identitätsmatrix in Vektorform: {1,1,1,0,0,0}T
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| K und G |
elastischer Kompressions- bzw. Schubmodul: K = E / [3(1-2ν)], G = E / [2(1+ν)]
|
Die lineare Fließregel in der inkrementellen Form kann dementsprechend wie folgt ausgedrückt werden:
Ladung: Δξs = (1,0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)
Entlastung: Δξ
s = ξ
s ΔF / (F - R
f2)
Und die exponentielle Fließregel, wenn ein β ungleich 0 definiert ist:
Ladung: Δξs = β1(1,0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)2
Entlastung: Δξs = β2ξs ΔF / (F - Rf2)2
- Im Allgemeinen hängen Formgedächtnislegierungen nicht von Geschwindigkeitseffekten ab. Daher stellt die "Zeit" in der obigen Formel eine Pseudovariable dar, und ihre Größe wirkt sich nicht auf die Lösung aus.
- Alle Gleichungen sind hier für Zugbelastungen bzw. Zugentlastungen dargestellt. Ähnliche Ausdrücke (mit Druckeigenschaftsparametern) können für die Druckbelastungs- bzw. Druckentlastungsbedingungen verwendet werden.
- Beim inkrementellen Lösungsalgorithmus wird hier ein Rückabbildungsverfahren in der Berechnung von Spannungen und konstitutiven Gleichungen für einen Lösungsschritt verwendet. Die Lösung besteht demnach aus zwei Teilen. Zuerst wird ein Testzustand berechnet. Wenn der Testzustand das Fließkriterium verletzt, wird eine Anpassung zur Rückgabe der Spannungen an die Fließoberfläche vorgenommen.
Referenzen
- Auricchio, F., "A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model", International Journal of Plasticity, Band 17, S. 971-990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R.L. und Lubliner, J., "Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 146, S. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J., and Wunderlich, eds. "On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis", Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. "Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity", Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, Niederlande, 1984.