Благодаря принятию понятия логарифмической деформации, девиаторный и объемный компоненты тензоров деформации и напряжения, а также, связанные отношения могут быть корректно выражены в виде несвязанных уравнений.
Сначала, требуется представить векторы суммарного пластичной и упругой деформации:
ε(bar)p = εul ξs( n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
Затем можно получить вектор напряжения Кирхгофа:
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
В приведенных выше формулировках:
| εul |
скалярный параметр, представляющий максимальную пластичную деформацию материала [EUL] |
| ξс |
параметр между 0 и 1, используемый в качестве меры пластической деформации |
| θ |
объемная деформация = ε11 + ε22 + ε33 |
| e(bar) |
вектор девиаторной деформации |
| t(bar) |
вектор девиаторного напряжения
|
| n(bar) |
норма девиаторного напряжения = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar))
|
| m(bar) |
единичная матрица в векторной форме: {1,1,1,0,0,0}T
|
| K и G |
общий модуль и модуль упругого сдвига: K = E / [3(1-2ν)], G = E / [2(1+ν)]
|
Соответствующим образом, может быть выражено правило линейного потока в возрастающем виде:
Нагрузка: Δξs = ( 1.0 - ξs) ΔF / ( F - Rf1)
Разгрузка Δξ
s = ξ
s ΔF / ( F - R
f2)
Также, правило экспоненциального потока, используемое при назначении β, отличного от 0:
Нагрузка: Δξs = β1( 1,0 - ξs) ΔF / ( F - Rf1)2
Разгрузка Δξs = β2ξs ΔF / ( F - Rf2)2
- В основном, сплавы с эффектом запоминания формы считаются нечувствительными к связанным со скоростью эффектам. Следовательно, приведенная выше формулировка "времени" представляет псевдо-переменную, длина которой не оказывает воздействия на решение.
- Все представленные уравнения относятся к нагрузке-разгрузке растяжения, поскольку подобные выражения можно использовать (с параметрами свойств сжатия) для условий нагрузки-разгрузки сжатия.
- Представленный возрастающий алгоритм решения использует методику отображения последования в оценке напряжений и уравнения состояния для шага решения. Соответственно, решение состоит из двух частей. Сначала, производится вычисление пробного состояния; затем, при нарушении критерия потока пробным состоянием, выполняется регулировка для приведения напряжений к поверхности потока
Ссылки
- Auricchio, F., “A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model,” International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R.L., and Lubliner, J., “Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J., and Wunderlich, eds. “On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis,” Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. “Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity,” Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.