Ocena zniszczeń spowodowanych zmęczeniem dla komponentów, które działają w środowisku drgań losowych jest szacowany w dziedzinie częstotliwości w oparciu o właściwości statystyczne funkcji gęstości widmowej mocy (PSD) naprężeń reakcji.
Gdy struktury lub elementy mechaniczne są poddawane działaniu obciążeń losowych, na przykład turbiny wiatrowe obciążone wiatrem, konstrukcje przybrzeżne, na które działają fale, lub silnik samochodu pracujący na drogach o różnych nawierzchniach, trwałość zmęczeniowa jest szacowana w dziedzinie częstotliwości.
Termin zmęczenia dla drgań (lub zmęczenia opartego na częstotliwości) odnosi się do szacowania trwałości zmęczeniowej, gdy obciążenia i reakcje (naprężenia i odkształcenia) mają charakter losowy, a co za tym idzie są najlepiej opisywane za pomocą metod statystycznych środków, takich jak funkcje gęstości widmowej mocy (PSD).
Charakterystyka statystyczna funkcji PSD naprężenia reakcji naprężenie można uzyskać poprzez momenty funkcji PSD.
| Charakterystyka statystyczna funkcji PSD |
Równanie |
|---|
| N-tymoment widmowy funkcji naprężenia PSD S(f) przy częstotliwości f (w jednostkach Hz). |
 (Równanie 1)
|
| Wartość średniej kwadratowej dla ciągłego stacjonarnego procesu Gaussa σ. |
 (Równanie 2)
|
| Średnia liczba miejsce zerowych przy wzrastającej wartości funkcji E[ 0] dla typowej próbki 1 s. |
 (Równanie 3)
|
| Średnia liczba wartości maksymalnych funkcji E[p] dla typowej próbki 1 s. |
 (Równanie 4)
|
| Wartość współczynnika nieregularności γ waha się między 0 a 1. Zbliża się do 1, gdy sygnał naprężenia zbliża się do wąskiego pasma (dla fali sinusoidalnej = 1). Zbliża się do 0, gdy sygnał naprężenia zbliża się do białego szumu. |
 (Równanie 5)
lub  (Równanie 6)
|
Właściwości zmęczeniowe materiału są zwykle uzyskiwane z krzywej S-N, która określa relację pomiędzy zakresem naprężenia, S (jest to zmienność naprężeń od maksymalnego naprężenia cyklicznego przy rozciąganiu do minimalnego naprężenia cyklicznego przy ściskaniu) a średnią liczbą cykli do zniszczenia, N.
Dla większości problemów zmęczenia przy dużej liczbie cykli (N ≥ 104 ) krzywa S-N może być wyrażona w formie uproszczonej:
(Równanie 7)
gdzie: B i m są właściwościami materiału zmiennymi z obciążeniem i warunkami środowiskowymi i są wyznaczane poprzez testy zmęczeniowe.
Skumulowane uszkodzenia E[AD] spowodowane zmęczeniem od obciążenia losowego opierają się na regule Palmgrena-Minera:
(Równanie 8)
gdzie: n(S) jest liczbą cykli zastosowanych na poziomie zakresu naprężenia S, p(S) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zakresu naprężenia. Podstawiając równanie uproszczonej krzywej S-N do powyższego równania można uzyskać ogólne równanie uszkodzenia zmęczeniowego z reakcji na losowe naprężenia ze wzoru:
(Równanie 9), gdzie T jest czasem trwania w sekundach losowego obciążenia.
Dostępne są trzy metody szacowania uszkodzenia zmęczeniowego na podstawie wzoru z Równania 9: Metoda trzech pasm Steinberga, metoda wąskiego pasma i metoda Wirshinga. Każda z metod wykorzystuje inną definicję funkcji gęstości prawdopodobieństwa p(S).
Metoda wąskiego pasma
W metodzie wąskiego pasma funkcja gęstości prawdopodobieństwa wartości maksymalnych w wąskim paśmie sygnału dąży do rozkładu Rayleigha (Bendat J.S., Probability Functions for Random Responses. NASA report on Contact NASA-5-4590, 1964).
(Równanie 10)
Po podstawieniu (Równania 10) do (Równania 9) i całkowaniu otrzymujemy poniższe wyrażenie szacowanego uszkodzenia zmęczeniowego.
(Równanie 11), gdzie Γ(.) jest funkcją gamma.
Metoda Wirschinga
Metoda Wirschinga (Wirshing, P.H., Paez, T.L., and Ortiz K., Random Vibration, John Wiley & Sons Inc., New York, 1995) modyfikuje metodę wąskiego pasma o empirycznie wyznaczony współczynnik korekcyjny w celu uwzględnienia procesu dla szerokiego pasma.
(Równanie 12)
, (Równanie 13)
ζw jest współczynnikiem empirycznym wyprowadzonym z symulacji Monte Carlo uwzględniających szereg funkcji gęstości widmowej.
αw i bw są najlepiej dopasowanymi parametrami z:
(Równanie 14)
Metoda trzech pasm Steinberga
Metoda Steinberga zakłada, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa reakcji na naprężenia losowe ma rozkład Gaussa, a więc oczekiwane wartości amplitudy naprężenia reakcji, są ograniczane przez pewne poziomy prawdopodobieństwa:
- Prawdopodobieństwo 68,27%, że amplituda cykli naprężeń nie przekroczy zakresu 2 średnich kwadratowych sygnału odpowiedzi naprężenia.
- Prawdopodobieństwo 27,1%, że amplituda cykli naprężeń nie przekroczy zakresu 4 średnich kwadratowych sygnału odpowiedzi naprężenia.
- Prawdopodobieństwo 4,3%, że amplituda cykli naprężeń nie przekroczy zakresu 6 średnich kwadratowych sygnału odpowiedzi naprężenia.
Brak cykli naprężeń występujących w zakresach 6 razy większych od średniej kwadratowej.
Oczekiwane uszkodzenie zmęczeniowe jest opisane wzorem:
(Równanie 15)
W dodatku Simulation funkcje naprężenia PSD są wynikami z dynamicznego badania drgań losowych, na którym oparte jest badanie zmęczenia. We wszystkich trzech metodach składowa naprężenia von Misesa jest uwzględniana w obliczeniach oczekiwanych uszkodzeń spowodowanych zmęczeniem.