Par l'adoption de la définition de déformation logarithmique, il est possible d'exprimer correctement sous une forme découplée les composantes déviatoriques et volumétriques des tenseurs de déformation et de contrainte, ainsi que leurs relations.
Nous allons d'abord prendre en compte les vecteurs de déformation plastique et élastique totale, qui seront représentés par :
ε(bar)p = εul ξs(n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
Le vecteur de déformation de Kirchhoff peut alors être évalué sur la base de la formule suivante :
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
Dans les formulations ci-dessus :
| εul
|
paramètre scalaire représentant la déformée maximum de la déformation plastique du matériau [EUL] |
| ξs
|
;paramètre compris entre 0 et 1, qui exprime la mesure de la déformation plastique |
| θ |
déformation volumétrique = ε11 + ε22 + ε33
|
| e(bar) |
vecteur de déformation déviatorique |
| t(bar) |
vecteur de contrainte déviatorique
|
| n(bar) |
norme de contrainte déviatorique = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar)) |
| m(bar) |
matrice d'identité de la forme vectorielle : {1,1,1,0,0,0}T
|
| K et G |
Modules élastiques de cisaillement et d'élasticité volumique : K = E / [3(1-2ν)], G = E / [2(1+ν)] |
La règle de flux linéaire dans la forme incrémentielle peut être exprimée en conséquence :
Chargement: Δξs = (1,0 - ξs) ΔF / (F - Rf
1)
Déchargement : Δξ
s = ξ
s ΔF / (F - R
f
2)
Et la règle de flux exponentielle, utilisée lorsqu'un β non nul est défini :
Chargement: Δξs = β1(1,0 - ξs) ΔF / (F - Rf
1)2
Déchargement : Δξs = β2ξs ΔF / (F - Rf
2)2
- En général, les alliages à mémoire de forme sont insensibles aux effets de taux. Dans la formulation ci-dessus, le "temps" représente une pseudo variable et sa longueur n'a aucune incidence sur la résolution.
- Toutes les équations sont présentées ici pour le chargement-déchargement de traction, puisque les expressions similaires (avec les paramètres des caractéristiques de compression) peuvent servir pour les conditions de chargement-déchargement de compression.
- L'algorithme de solution incrémentielle utilise une procédure retour-correspondance dans l'évaluation des contraintes et des équations constitutives pour un pas de simulation. Par conséquent, la résolution comprend deux parties. Il faut initialement calculer un état d'essai ; puis, si l'état d'essai viole le critère de flux, un ajustement permet de ramener les contraintes à la surface de flux.
Références
- Auricchio, F., "A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model," International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R.L., and Lubliner, J., "Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J., and Wunderlich, eds. "On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis," Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. "Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity," Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.