Méthodes de solution itérative pour les études non linéaires

Etudes statiques non linéaires

Dans une analyse statique non linéaire, l'ensemble d'équations de base à résoudre à n'importe quel pas de temps, t+Δt, est :

^t+Δt{R} - ^t+Δt{F} = 0,

où :

^t+Δt{R} = Vecteur de chargements nodaux appliqués en externe

^t+Δt{F} = Vecteur de forces nodales générées en interne.

Dans la mesure où les forces nodales internes ^t+Δt{F} dépendent des déplacements nodaux au temps t+Δt, ^t+Δt{U}, une méthode itérative doit être utilisée. Les équations suivantes représentent les grandes lignes de base d'un schéma itératif permettant de résoudre les équations d'équilibre à un certain pas de temps, t+Δt,

{ΔR}^(i-1) = ^t+Δt{R} - ^t+Δt{F}^(i-1)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ {ΔU}⁽ⁱ⁾ = {ΔR}^(i-1)

^t+Δt{U}⁽ⁱ⁾ = ^t+Δt{U}^(i-1) + {ΔU}⁽ⁱ⁾

^t+Δt{U}⁽⁰⁾ = ^t{U}; ^t+Δt{F}⁽⁰⁾ = ^t{F}

où :

^t+Δt{R} = Vecteur de chargements nodaux appliqués en externe

^t+Δt{F}^(i-1) = Vecteur de forces nodales générées en interne à l'itération (i)

{ΔR}^(i-1) = Vecteur de chargement déséquilibré à l'itération (i)

{ΔU}⁽ⁱ⁾ = Vecteur de déplacements nodaux incrémentiels à l'itération (i)

^t+Δt{U}⁽ⁱ⁾ = Vecteur de déplacements totaux à l'itération (i)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ = Matrice Jacobienne (raideur tangente) à l'itération (i).

Il existe différents schémas pour l'exécution des itérations ci-dessus. Une description succincte de deux méthodes de type Newton est fournie ci-dessous :