토폴로지 최적화에 대한 SIMP 방법

토폴로지 최적화는 가장 일반적인 유형의 구조 최적화 방법입니다. 이 방법은 구조물의 주어진 초기 설계 공간 안에서 최적의 재질 분포를 예측하기 위해 설계 초기 단계에서 사용되며, 기능적 사양과 제조상의 제약 조건을 고려합니다.

토폴로지 최적화를 위해 가장 널리 사용되는 수학적 방법은 SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization) 방법입니다. Bendsoe, Kikuchi(1988)와 Rozvany, Zhou(1992)가 처음 SIMP 방법을 제안했습니다. SIMP 방법은 하중 케이스, 경계 조건, 제조상의 제약 조건, 성능 요구사항에 따라 주어진 설계 공간 내에서 최적의 재질 분포를 예측합니다.

Bendsoe(1989)에 따르면, "대부분의 일반 설정에서 형상 최적화는 해당 지점에 재질이 있는지 여부에 관계없이 공간 내 모든 점에서의 결정으로 구성되어야 합니다." 토폴로지 최적화에 대한 기존 접근 방식에서는 영역이 등방성 솔리드 미세 구조라는 유한 요소의 그리드로 분할됩니다. 각 요소는 재질이 필요한 영역에서는 재질로 채워지고, 재질을 제거해야 하는 영역(진공)에서는 재질을 비웁니다. 설계 영역 내 재질의 밀도 분포(ρ)는 연속되지 않으며, 각 요소에는 다음과 같은 이진 값이 지정됩니다.
  • ρ(e) = 1, 재질이 필요한 영역(검은색)
  • ρ(e) = 0, 재질이 제거되는 영역(흰색)

예를 들어, 이미지는 하중을 받는 빔의 최적화된 재질 레이아웃을 보여줍니다. 밀도 ρ(e) =1의 솔리드 요소는 검은색이지만, ρ(e) = 0의 진공 요소는 제거됩니다.



연속된 상대 밀도 분포 함수를 도입하면서 이진 특성의 문제를 방지할 수 있습니다. 각 요소에 대해 지정된 상대 밀도는 최소값 ρmin 및 1 사이의 값으로 다양합니다. 1인 경우 요소에 중간 밀도를 지정할 수 있습니다.

ρmin은 빈 요소에 대해 허용 가능한 최소 상대 밀도 값으로, 0보다 큽니다. 이 밀도 값을 사용하면 유한 요소 해석에서 수치적 안정성을 보장합니다.

재질 상대 밀도는 연속적으로 달라질 수 있으므로 각 요소에서 재질의 탄성 계수는 계속 달라질 수 있습니다. 각 요소 e에서 재질 상대 밀도 계수 ρe 및 지정된 등방성 모델의 탄성 계수 Ε0 사이의 관계는 멱급수로 계산합니다.

페널티 계수 p는 중간 밀도가 지정된 요소(회색 요소)가 총 강성에 기여하는 정도를 줄입니다. 이러한 페널티 계수로 검은색 솔리드(ρe = 1) 또는 흰색 진공(ρe= ρmin)에 해당하는 요소에 대한 최적화 솔루션을 조정할 수 있습니다. 수치 실험 결과, p = 3의 페널티 계수가 적합한 것으로 나타났습니다.

요소의 재질 탄성 계수가 감소하면 요소 강성이 감소합니다. SIMP 방법에 따르면, 전체 강성은 다음에 따라 조절됩니다.

여기에서, 는 요소 강성 행렬이고, ρmin은 최소 상대 밀도이며, ρe는 요소의 상대 밀도이고, p는 페널티 계수이며, N은 설계 영역에서 요소 수입니다.

예를 들어, 상대 밀도 ρe = 0.5, 페널티 계수 = 3, ρmin = 0.001이 지정된 요소의 경우 전체 강성 행렬은 다음과 같이 계산됩니다. (0.001 + (1 -0.001)* 0.5 ^3) = 0.12587.

목적 계수: 강성 최대화

가장 보편적인 최적화 목표는 구조물의 전체 강성을 최대화하거나 지정된 양의 질량을 제거하여 컴플라이언스를 최소화하는 것입니다.

컴플라이언스는 구조의 유연성 또는 부드러움을 평가하는 척도이며, 강성과는 상호 보완적입니다. 전체 컴플라이언스는 요소 탄성 또는 변형 에너지의 합과 같습니다. 전체 컴플라이언스(C)의 최소화는 전체 강성의 최대화와 같습니다. 반복 프로세스에 기반한 최적화 알고리즘은 구조의 전체 컴플라이언스를 최소화하는 요소 밀도(즉, 최적화 설계 변수)를 구합니다.



[ue]는 요소 e의 절점 변위 벡터이고, [Ke]는 요소 e의 강성이고, 벡터 {ρ}는 요소의 상대적 밀도(ρe)를 포함합니다.

각 최적화를 반복하는 동안, 대상 질량 구속 조건, 전체 하중-강성 평형, 필요한 함수 구속 조건을 충족해야 합니다.

ve는 요소의 체적이고, Mtarget은 최적화의 목표 질량입니다.


[K{ρ}]는 상대적 밀도의 벡터로 조정된 전체 강성이고, {u}는 변위 벡터이고, {F}는 외부 하중 벡터입니다.


위 공식에는 응력, 변위, 고유주파수의 제한과 같은 설계 응답 구속 조건이 포함되어 있습니다.

민감도 분석

각 반복 중에 최적화 알고리즘은 강성을 최대화하기 위해 목적 계수에서 재질 밀도의 변이가 미치는 영향을 평가하는 민감도 분석을 수행합니다.

수학적으로, 민감도 분석은 재질 밀도에 대한 목적 계수의 미분계수로 표현됩니다.



민감도 분석 중, 재질 밀도 계수가 낮은 요소는 실질적으로 구조적 의미를 상실하기 때문에 추가 반복 과정 중에 제거됩니다.

각 요소의 민감도를 개별적으로 계산할 경우 요소 간 연결성을 고려하지 않으면 재질의 불연속 문제와 볼륨이 주 지오메트리에 연결되지 않는 문제가 생길 수 있습니다. 체커보드 효과라고도 합니다. 체커보드 효과를 줄이기 위해 필터링 스키마는 요소 영향 반경을 적용하고 영향 범위 내 각 요소의 민감도를 평균화합니다.

목적 계수 수렴 및 반복의 변이가 수렴 기준에 도달할 때까지 최적화 반복이 계속됩니다.