Procedura analizy - drgania losowe

Układ równań ruchu liniowego układu o n stopniach swobody wzbudzonego przez siłę zmienną w czasie:

(Równanie 1)

Używając przekształcenia współrzędnych, zbiór n równań równoważnych upraszcza się do n niezależnych równań (każde równanie może zostać rozwiązane niezależnie):

dla r = 1, 2, ...., n (Równanie 2)

gdzie x_r(t) są modalnymi współrzędnymi związanymi z modalnymi współrzędnymi u_r(t) w następujący sposób:

(Równanie 3).

Wektor modalnych obciążeń {m(t)} jest określany jako:

(Równanie 4).

Zakładając, że wzbudzenia są wyrażone przy użyciu funkcji gęstości widmowej mocy (PSD), rozwiązanie można sformułować w dziedzinie częstotliwości. Jeżeli macierz wzbudzeń PSD jest określona jako [S_f(ω)], macierz modalnych sił PSD jest zdefiniowana jako:

(Równanie 5).

Gęstość widmowa mocy (PSD) modalnej reakcji przemieszczenia [S_x(ω)] jest uzyskiwana ze wzoru:

(Równanie 6),

gdzie [H(ω)] jest macierzą modalnej funkcji przeniesienia, a [H*(ω)] jest jej zespolonym sprzężeniem. W przypadku modów normalnych macierz funkcji przeniesienia jest diagonalna, z elementami diagonalnymi H_r(ω).

(Równanie 7) i

(Równanie 8).

Gęstość widmowa mocy (PSD) reakcji przemieszczenia [S_u(ω)] jest następnie wyprowadzana z (Równania 3).

(Równanie 9).

Gęstości widmowe mocy (PSD) reakcji prędkości i przyspieszenia są wyrażone jako:

(Równanie 10) i

(Równanie 11).

Gęstości widmowe mocy (PSD) modalnej prędkości i przyspieszenia są związane z PSD modalnego przemieszczenia w następujący sposób:

(Równanie 12) oraz (Równanie 13)

Równanie 10 oraz Równanie 11 można następnie przekształcić do postaci:

(Równanie 14) oraz (Równanie 15).

Reakcje modalnej autokorelacji przy zerowym opóźnieniu (τ=0) jako gęstości widmowe mocy (PSD) reakcji modalnej są obliczane z całek:

(Równanie 16)

(Równanie 17)

(Równanie 18).

Z powyższych równań obliczane są reakcje średniokwadratowe na podstawie diagonalnych członów macierzy:

(Równanie 19),

(Równanie 20),

(Równanie 21).