Método SIMP para otimização de topologia

A otimização de topologia é o tipo mais comum de otimização estrutural. Ela é usada na fase inicial do projeto para prever a melhor distribuição do material dentro de determinado espaço do projeto inicial de uma estrutura e considera as especificações funcionais e as restrições de fabricação.

O mais popular método matemático para otimização de topologia é o SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization). Bendsoe e Kikuchi (1988) e Rozvany e Zhou (1992). propuseram inicialmente o método SIMP. O método SIMP prediz a melhor distribuição do material dentro de determinado espaço do projeto, para determinados casos de carga, condições de limites, restrições de fabricação e requisitos de desempenho.

Segundo Bendsoe (1989): "a otimização da forma em sua definição mais geral deve consistir na determinação de cada ponto no espaço, exista ou não material neste ponto". A abordagem tradicional de otimização de topologia é a discretização de um domínio em uma grade de elementos finitos chamados de microestruturas sólidas isotrópicas. Cada elemento é preenchido com material para as regiões que necessitam de material, ou esvaziado de material para regiões onde você pode remover material (que representam vácuos). A distribuição de densidade do material em um domínio do projeto, ρ, é distinta, e cada elemento recebe um valor binário:
  • ρ(e) = 1, em que o material é necessário (preto)
  • ρ(e) = 0, em que o material é removido (branco)

Por exemplo, a imagem mostra um layout de material otimizado de um feixe carregado. Os elementos sólidos com densidades ρ(e) =1 são pretos, enquanto os elementos com vácuo com ρ(e) = 0 são removidos.



A introdução de uma função de distribuição de densidade relativa contínua evita a natureza binária de ativação e desativação do problema. Para cada elemento, a densidade relativa atribuída pode variar entre um valor mínimo ρmin e 1, que permite a atribuição de densidades intermediárias para os elementos (caracterizados como elementos porosos):

ρmin é o valor mínimo de densidade relativa permitido para elementos vazios que são maiores do que zero. Este valor de densidade garante a estabilidade numérica da análise de elemento finito.

Uma vez que a densidade relativa do material pode variar continuamente, o módulo de Young do material em cada elemento também pode variar continuamente. Para cada elemento e, a relação entre o fator de densidade relativa do material ρe, e o módulo de Young de elasticidade do modelo de material isotrópico atribuído E0 é calculado pela lei da potência:

O fator de penalidade p diminui a contribuição de elementos com densidades intermediárias (elementos cinza) com a rigidez total. O fator de penalidade direciona a solução de otimização para elementos que são pretos sólidos (ρ = 1) ou brancos vazios (ρ= ρmin). Experimentos numéricos indicam que um fator de penalidade de p = 3 é adequado.

Uma redução do módulo elástico do material do elemento leva a uma redução da rigidez do elemento. De acordo com o método SIMP, a rigidez global é modulada de acordo com:

em que é a matriz de rigidez do elemento, ρmin é a densidade mínima relativa, e ρ é a densidade relativa do elemento, p é o fator de penalidade, e N é o número de elementos no domínio do projeto.

Por exemplo, para um elemento com densidade relativa atribuída ρe = 0,5, fator de penalidade = 3 e ρmin = 0,001, a matriz de rigidez global é incrementada em um fator de (1 + 0,001 (-0.001)* 0,5 ^3) = 0,12587.

Função objetiva: Maximizar rigidez

Um objetivo da otimização popular é maximizar a rigidez global de uma estrutura, ou minimizar sua conformidade mediante determinada quantidade de remoção de massa.

A conformidade é uma medida da flexibilidade geral ou suavidade de uma estrutura, e é recíproca da rigidez. A conformidade global é igual à soma das energias elásticas ou de tensão do elemento. Minimizar a conformidade global, C, é equivalente a maximizar a rigidez global. O algoritmo de otimização, por meio de um processo iterativo, procura resolver densidades de elementos (que são variáveis do projeto de otimização) que minimizam a conformidade global da estrutura.



[ue] é o vetor de deslocamento do nó do elemento e, [Ke] é a rigidez do elemento e, e o vetor {ρ} contém as densidades relativas dos elementos ρe.

Durante a iteração da otimização, a restrição da massa de destino, o equilíbrio global de força-rigidez, e as restrições funcionais necessárias devem ser atendidos:

ve é o elemento de volume, e M é a massa de destino da otimização.


[K{ρ}] é a matriz de rigidez global modulada pelo vetor de densidades relativas, {u} é o vetor de deslocamento, e {F} é o vetor de força externa.


A fórmula acima contém restrições de resposta do projeto, como limites de tensões, deslocamentos, autofrequências etc.

Análise de sensibilidade

Durante cada iteração, o algoritmo de otimização realiza uma análise de sensibilidade para avaliar o impacto da variação das densidades de material sobre a função objetiva de maximizar a rigidez.

Matematicamente, a análise de sensibilidade é expressa como a derivada da função objetiva com relação às densidades de material:



Durante uma análise de sensibilidade, elementos ponderados com fatores de baixa densidade de material podem perder sua importância estrutural e são eliminados durante outras iterações.

Se você calcular a sensibilidade de cada elemento de modo independente e não considerar a conectividade entre os elementos, isso pode levar à descontinuidade e à desconexão dos volumes da geometria principal. Isso é conhecido como efeito tabuleiro de xadrez. Para reduzir o efeito de tabuleiro de xadrez, um esquema de filtragem aplica um raio de influência do elemento e pondera as sensibilidades de cada elemento dentro de sua região de influência.

As iterações de otimização continuam até que as variações da função objetiva sejam convergidas e que as iterações atinjam os critérios de convergência.