Poprzez wykorzystanie logarytmicznej definicji odkształcenia można prawidłowo wyrazić komponenty dewiatoryjny i wolumetryczny tensorów odkształcenia i naprężenia oraz ich zależności w postaci rozprzężonej.
Najpierw rozważmy całkowite wektory odkształcenia plastycznego i sprężystego przedstawione równaniem:
ε(bar)p = εul ξs(n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
Wektor naprężenia Kirchhoffa można obliczyć ze wzoru:
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
W powyższych wyrażeniach:
| εul
|
parametr skalarny reprezentujący maksymalną plastyczną deformację odkształcenia materiału [EUL] |
| ξs
|
parametr pomiędzy 0 i 1, będący miarą odkształcenia plastycznego |
| θ |
odkształcenie wolumetryczne = ε11 + ε22 + ε33
|
| e(bar) |
dewiatoryjny wektor odkształcenia |
| t(bar) |
dewiatoryjny wektor naprężenia
|
| n(bar) |
norma naprężenia dewiatoryjnego = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar)) |
| m(bar) |
macierz identyczności w postaci wektorowej: {1,1,1,0,0,0}T
|
| K i G |
współczynnik sprężystości wzdłużnej ścinania i objętościowy: K = E / [3(1-2ν)], G = E / [2(1+ν)] |
Liniowa reguła płynięcia w postaci inkrementacyjnej możne zostać wyrażona odpowiednio:
Obciążanie: Δξs = (1,0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)
Zwalnianie: Δξ
s = ξ
s ΔF / (F - R
f2)
Wykładnicza reguła płynięcia, używana, gdy zdefiniowano niezerowe β:
Obciążanie: Δξs = β1(1,0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)2
Zwalnianie: Δξs = β2ξs ΔF / (F - Rf2)2
- Zwykle stopy z pamięcią kształtu (SMA) okazują się niewrażliwe na efekty prędkości. Dlatego czas w powyższym wyrażeniu reprezentuje pseudozmienną, a jego długość nie wpływa na rozwiązanie.
- Wszystkie równania przedstawiono tu dla rozciągającego obciążania-zwalniania, ponieważ podobne wyrażenia (z parametrami właściwości ściskania) można wykorzystać dla warunków ściskającego obciążania-zwalniania.
- Inkrementacyjny algorytm rozwiązania wykorzystuje tu procedurę mapowania powrotnego w celu oszacowania naprężeń i konstytucyjnych równań dla danego kroku rozwiązania. W związku z tym rozwiązanie składa się z dwóch części. Początkowo obliczany jest stan próbny, a następnie, jeżeli stan próbny narusza kryterium płynięcia, dokonywana jest korekta, aby przywrócić naprężenia do powierzchni płynięcia.
Odniesienia
- Auricchio, F., „A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model”, International Journal of Plasticity, vol. 17, str. 971–990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R. L. i Lubliner, J., „Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, str. 281–312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J. i Wunderlich, eds. „On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis”, Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. „Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity”, Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.