Quand utiliser l'analyse dynamique

Les études statiques supposent que les chargements sont constants ou appliqués très lentement jusqu'à ce qu'ils atteignent leur valeur maximale. La vitesse et l'accélération de chaque particule du modèle sont donc supposées être nulles. Il en résulte que les études statiques négligent les forces d'inertie et d'amortissement.

Dans de nombreux cas pratiques, les chargements ne sont pas appliqués lentement ou changent avec le temps ou la fréquence. Dans de tels cas, effectuez une étude dynamique. De façon générale, si la fréquence d'un chargement est plus grande que le tiers de la fréquence (fondamentale) la plus petite, il faut utiliser une étude dynamique.

Les études dynamiques linéaires sont basées sur des études fréquentielles. Le logiciel calcule la réponse du modèle en accumulant la contribution de chaque mode à l'environnement de chargement. Dans la plupart des cas, seuls les modes inférieurs contribuent à la réponse de façon significative. La contribution d'un mode dépend du contenu fréquentiel, de l'amplitude, de la direction, de la durée et de l'emplacement du chargement.

Au nombre des objectifs d'une étude dynamique se trouvent:

• Une conception des systèmes dynamiques et structuraux leur permettant de fonctionner sans défaillance dans des environnements dynamiques,

• La modification des caractéristiques d'un système (par exemple, la géométrie, les mécanismes d'amortissement, les propriétés des matériaux, etc.) afin de réduire les effets de vibration.

Equations de mouvement

Système à un degré unique de liberté (SDOF)

Examinez le système masse-ressort simple. La masse (m) est soumise à une force F(t) dans la direction u, comme fonction du temps. La masse peut seulement se déplacer dans la direction u, et il s'agit donc d'un système à un seul degré de liberté (SDOF). Un ressort de raideur (k) s'oppose au mouvement.

.

L'écriture de la seconde loi de Newton (la force est égale à la masse multipliée par l'accélération) pour ce système au moment (t) aboutit à:

F(t)-ku(t) = mu..(t)

ou:

mu..(t) + ku(t) = F(t)

où :

u..(t) est l'accélération de la masse au moment (t) et est égal à la deuxième dérivée de u par rapport au temps.

k = est la raideur du ressort

En théorie, si la masse est déplacée et relâchée, elle continuera à vibrer à la même amplitude indéfiniment. En pratique, la masse vibre à des amplitudes progressivement plus petites jusqu'à ce qu'elle s'arrête. Ce phénomène est appelé amortissement et est provoqué par la perte d'énergie due à la friction et à d'autres effets. L'amortissement est un phénomène complexe. Dans le cadre de notre discussion, supposez que la force d'amortissement est proportionnelle à la vitesse. Ce type d'amortissement est appelé amortissement visqueux.

En considérant l'amortissement, l'équation ci-dessus devient:

mu..(t) + cu.(t) + ku(t) = F(t)

où :

u..(t) est la vitesse de la masse au moment (t) et est égal à la première dérivée de u par rapport au temps.

Remarque : Dans les études statiques, la vitesse et l'accélération sont si faibles qu'elles peuvent être négligées et F et u ne sont pas des fonctions du temps. L'équation ci-dessus se réduit à: F=ku.

Système à plusieurs degrés de liberté (SDOF)

Pour un système à plusieurs degrés de liberté (MDOF), m, c et k deviennent des matrices à la place de valeurs uniques et les équations de mouvement sont exprimées sous la forme :

, où

[M]: matrice de masse

[K] : matrice de raideur

[C] : matrice d'amortissement

{u(t)}: vecteur de déplacement au temps t (composants de déplacement de chaque nœud)

vecteur d'accélération au temps t (composants d'accélération de chaque nœud)

vecteur de vitesse au temps t (composants de vitesse de chaque nœud)

{f(t)}: vecteur de chargement variable dans le temps (composants de force de chaque nœud)

Rubriques connexes

Analyse statique linéaire et analyse dynamique linéaire

Chargements dynamiques

Chargements et options de résultats pour l'analyse dynamique