Zavedením logaritmické definice namáhání mohou být výchylkové a objemové součásti namáhání a tenzory napětí a jejich vztahy správně vyjádřeny.
Nejprve uvážíme vektory celkového plastické a elastického namáhání reprezentované následovně:
ε(bar)p = εul ξs( n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
Kirchhoff vektor napětí lze vypočítat z:
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
Ve formulacích výše:
| εul
|
skalární parametr představující maximální plastickou deformaci materiálu v tahu [EUL] |
| ξs
|
parametr od 0 do 1, jako míra plastického namáhání |
| θ |
objemové namáhání = ε11 + ε22 + ε33
|
| e(bar) |
vektor výchylkového namáhání |
| t(bar) |
vektor výchylkového napětí
|
| n(bar) |
norma výchylkového napětí = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar)) |
| m(bar) |
matice identifikátoru ve vektorové formě: {1,1,1,0,0,0}T
|
| K a G |
objemový a smykový modul pružnosti: K = E / [3(1-2ν)], G = E / [2(1+ν)] |
Pravidlo lineárního toku v přírůstkové formě může být vyjádřeno následovně:
Zatížení: Δξs = ( 1.0 - ξs) ΔF / ( F - Rf
1)
Odlehčení: Δξ
s = ξ
s ΔF / ( F - R
f
2)
Pravidlo exponenciálního toku používané pro nenulové β je definováno následovně:
Zatížení: Δξs = β1( 1.0 - ξs) ΔF / ( F - Rf
1)2
Odlehčení: Δξs = β2ξs ΔF / ( F - Rf
2)2
- Slitiny s tvarovou pamětí se obecně považují za necitlivé k poměrným účinkům. Ve výše uvedené formulaci tudíž „čas“ představuje pseudoproměnnou a jeho délka neovlivňuje řešení.
- Všechny rovnice jsou zde uvedeny pro zatížení-odlehčení v tahu, protože podobné výrazy (s tlakovými parametry) je možné použit pro podmínky zatížení-odlehčení tlakem.
- Přírůstkový algoritmus řešení zde používá postup zpětného mapování při hodnocení napětí a základních rovnic pro krok řešení. Řešení se tedy skládá ze dvou částí. Nejprve je vypočítán dočasný stav; pokud potom dočasný stav nesplňuje kritérium toku, je provedena taková úprava, aby se napětí vrátila na plochu toku.
Odkazy
- Auricchio, F., „A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model,“ International Journal of Plasticity, vol. 17, str. 971-990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R.L., a Lubliner, J., „Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior,“ Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, str. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J., a Wunderlich, eds. „On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis,“ Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. „Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity,“ Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.