Metodi di soluzione iterativa per gli studi non lineari

Studi statici non lineari

Nell'analisi statica non lineare, il gruppo di base di equazioni da risolvere in qualsiasi passo "temporale", t+Δt, è:

^t+Δt{R} - ^t+Δt{F} = 0,

dove:

^t+Δt{R} = Vettore dei carichi nodali applicati esternamente

^t+Δt{F} = Vettore delle forze nodali generate internamente.

Visto che le forze nodali interne ^t+Δt{F} dipendono dagli spostamenti nodali nel tempo t+Δt, ^t+Δt{U}, si deve utilizzare un metodo iterativo. Le seguenti equazioni rappresentano l'essenza di uno schema iterativo per risolvere le equazioni di equilibrio in un determinato passo temporale, t+Δt,

{ΔR}^(i-1) = ^t+Δt{R} - ^t+Δt{F}^(i-1)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ {ΔU}⁽ⁱ⁾ = {ΔR}^(i-1)

^t+Δt{U}⁽ⁱ⁾ = ^t+Δt{U}^(i-1) + {ΔU}⁽ⁱ⁾

^t+Δt{U}⁽⁰⁾ = ^t{U}; ^t+Δt{F}⁽⁰⁾ = ^t{F}

dove:

^t+Δt{R} = Vettore dei carichi nodali applicati esternamente

^t+Δt{F}^(i-1) = Vettore delle forze nodali generate internamente con iterazione (i)

{ΔR}^(i-1) = Vettore di carico sbilanciato all'iterazione (i)

{ΔU}⁽ⁱ⁾ = Vettore degli spostamenti nodali incrementali all'interazione (i)

^t+Δt{U}⁽ⁱ⁾ = Vettore degli spostamenti totali con iterazione (i)

^t+Δt[K]⁽ⁱ⁾ = Matrice jacobiana (rigidezza tangente) all'iterazione (i).

Esistono diversi schemi per eseguire le iterazioni appena descritte. Una breve descrizione dei due metodi tipo Newton viene presentata di seguito: