Analiz Prosedürü - Rastgele Titreşim

Zaman ile değişen bir kuvvet tarafından uyarılan doğrusal bir n serbestlik dereceli sistem için hareket denklemleri sistemi şu şekildedir:

(Denklem 1)

Koordinat dönüşümü kullanılarak n eşzamanlı denklemler seti, n bağımsız denklemlerine indirilir (her denklem bağımsız olarak çözülebilir):

r = 1, 2, ...., n için (Denklem 2)

Burada xr(t), ur(t) düğüm koordinatlarıyla şu ilişkiye sahip modal koordinatlarıdır:

(Denklem 3).

Modal yükler vektörü {m(t)} şu şekilde hesaplanır:

(Denklem 4).

Uyarımların güç spektral yoğunluğu (psd) fonksiyonları ile ifade edildiğini varsayarsak çözüm, frekans etki alanında formüle edilebilir. Uyarım psd matrisi [Sf(ω)] olarak belirlenir, modal kuvvet psd matrisi şu şekilde tanımlanır:

(Denklem 5).

Modal yer değiştirme tepkisinin psd'si [Sx(ω)] şu şekilde elde edilir:

(Denklem 6),

Burada [H(ω)], modal aktarım fonksiyonu matrisidir ve [H*(ω)] bunun karmaşık eşleniğidir. Normal modlar için, aktarım fonksiyon matrisi diyagonal elemanlar içeren bir diyagonaldir Hr(ω)

(Denklem 7) ve

(Denklem 8).

Yer değiştirme tepkisi psd [Su(ω)], daha sonra (Denklem 3) kullanılarak türetilir.

(Denklem 9).

Hız ve ivme tepkilerinin psd'si şu şekilde ifade edilir:

(Denklem 10) ve

(Denklem 11).

Modal hız ve ivme psd'si, modal yer değiştirme psd'siyle şu ilişkiye sahiptir:

(Denklem 12) ve (Denklem 13)

Denklem 10 ve Denklem 11 şu şekilde yeniden yazılabilir:

(Denklem 14) ve (Denklem 15).

Modal tepki psd'si açısından sıfır gecikme modal otomatik korelasyon tepkileri (τ=0) integrallerle hesaplanır:

(Denklem 16)

(Denklem 17)

(Denklem 18).

Yukarıdaki denklemlerden; ortalama kare tepkileri, matrislerin diyagonal bileşenlerinden belirlenir:

(Denklem 19),

(Denklem 20),

(Denklem 21).

Gerilim Ortalama Kare Tepkisi

Eleman gerilimleri {σ}, şu şekilde düğüm yer değiştirmeleri {u} ile belirlenir:

(Denklem 22) ya da modal yer değiştirmeleri {x} ile şu şekilde belirlenir:

(Denklem 23), burada [Φ] özvektörler matrisidir.

Gerilim korelasyon matrisi [Rσ] şu şekilde belirlenir:

(Denklem 24).