Analyse modale en fonction du temps

Utilisez l'analyse modale en fonction du temps lorsque la variation de chaque chargement dans le temps est connue explicitement et que vous vous intéressez à la réponse comme fonction du temps.

Les chargements types comprennent les suivants:

  • Impacts dynamiques (ou par impulsions)
  • Chargements généraux fonctions du temps (périodiques ou apériodiques)
  • Mouvement de base uniforme (déplacement, vitesse ou accélération appliqués à tous les supports)
  • Mouvements de support (déplacement, vitesse ou accélération appliqués de façon non uniforme aux supports sélectionnés)
  • Conditions initiales (une accélération, une vitesse ou un déplacement finis appliqués à une pièce ou au modèle entier au moment t =0)

La solution des équations de mouvement pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté incorpore des techniques d'analyse modale.

La précision de la solution peut être améliorée en utilisant un pas de temps plus petit.

Après avoir exécuté l'analyse, vous pouvez visualiser les déplacements, les contraintes, les déformations, les forces de réaction, etc. à différents moments, ou afficher les résultats comme diagramme à des emplacements spécifiés en fonction du temps. Si aucun emplacement n'est spécifié dans les Options des résultats, les résultats à tous les nœuds sont enregistrés.

Des amortisseurs de type modal, de Rayleigh, modal composite et concentré sont disponibles pour l'analyse modale en fonction du temps.

Procédure d'analyse - Modale en fonction du temps

Le système d'équations de mouvement d'un système linéaire à n degrés de liberté excité par une force variable dans le temps est:

(Equation 1)

où :

[M] = n x n matrice d'inertie symétrique

[C] = n x n matrice d'amortissement symétrique

[K] = n x n matrice de raideur symétrique

{f(t)} = vecteur de force à n dimensions

{u}, et sont les vecteurs à n dimensions de déplacement, de vitesse et d'accélération, respectivement.

(Equation 1) est un système de n équations différentielles ordinaires simultanées à coefficients constants. Les équations de mouvement sont couplées au moyen de termes de masse, de raideur et d'amortissement. Le couplage dépend du système de coordonnées utilisé pour décrire mathématiquement les équations de mouvement.

Le concept de base sous-tendant l'analyse modale est la transformation du système couplé de (Equation 1) en un ensemble d'équations indépendantes en utilisant la matrice modale [Φ] comme matrice de transformation. [Φ] contient les modes normaux {f}i pour i = 1, ....,n organisés comme suit :

(Equation 2)

Les modes normaux et les valeurs propres du système sont dérivés de la solution du problème de valeur propre:

(Equation 3)

où [ω2] est une matrice diagonale du carré des fréquences propres.

Dans le cas des systèmes linéaires, le système de n équations de mouvement peut être découplé en n équations à un seul degré de liberté en termes du vecteur de déplacement modal {x}:

(Equation 4)

La substitution du vecteur {u} depuis (Eq.4) et sa pré-multiplication par [Φ]T (Equation 1) aboutit à :

(Equation 5)

Les modes normaux satisfont la propriété d'orthogonalité et la matrice modale [Φ] est normalisée pour satisfaire aux équations suivantes:

(Equation 6)

(Equation 7) et

(Equation 8).

En substituant(Equations.6--8), (Equation 5) devient un système de n équations différentielles de second ordre SDOF indépendantes:

pour i =1, ..., n (Equation 9)

(Equation 9) est résolue en utilisant des méthodes d'intégration étape par étape telles que les méthodes Wilson-thêta et Newmark.

L'intégration est effectuée dans le domaine temporel où les résultats de la dernière étape sont utilisés pour prédire ceux de la suivante.

Le vecteur de déplacement (u) du système est dérivé de (Equation 4).

Analyse modale en fonction du temps - Options avancées

L'onglet Avancé dans la boîte de dialogue Modale en fonction du temps définit la méthode d'intégration numérique et ses paramètres.

Newmark Les équations de mouvement non couplées sont résolues par la méthode d'incrémentation du temps de Newmark.

Pour une variation linéaire de l'accélération entre les pas de temps, sélectionnez :

  • Premier paramètre d'intégration  a = 0,5
  • Deuxième paramètre d'intégration bêta = 1/6

Pour une accélération constante entre les pas de temps, sélectionnez :

  • a = 0,5 et bêta = 0,25.
Wilson-Theta La méthode d'intégration Wilson-Theta est utilisée pour résoudre les équations de mouvement non couplées.

Thêta. La valeur de thêta contrôle la stabilité numérique

Si thêta = 1, la formulation de la solution est semblable à la méthode d'accélération linéaire de Newmark.

Si thêta est supérieur ou égal à 1,37, la méthode Wilson est inconditionnellement stable.