分析程序 - 形式時間歷程

隨時間變化的力量所激發的線性 n-自由度系統的動作方程式系統為：

(方程式 1)

其中︰

[M] = x00a0;n x00a0;x n 對稱質量慣性矩陣

[C] = n x n 對稱阻尼矩陣

[K] = n x n 對稱勁度矩陣

{f(t)} = n-因次力向量

、、 分別是位移、速度與加速度 n-因次向量。

(方程式 1) 是包含常數係數的 n 個聯立常微分方程式的系統。動作方程式是透過質量、勁度和阻尼項式進行耦合的。耦合是根據在數學上用來描述動作方程式的座標系統而定。

形式分析背後的基本構想是使用形式矩陣 [F ] 作為轉換矩陣，將（方程式 1）的耦合系統轉換成一組獨立方程式。[ F ] 包含正向模式 { f } i for i = 1、…、n 排列如下：

（方程式 2）

正向模式與系統的特徵值是衍生自特徵值問題的解答：

(方程式 3)

其中 [w2] 是自然頻率的對角矩陣。

在線性系統中，n 個動作方程式的系統可以重新耦合成為在形式位移向量 {x} 中的 n 單一自由度方程式：

bsp; (方程式 4)

從 (方程式 4) 代入向量 {u} 並且將它預先乘以 [F]T(方程式 1) 降伏：

(方程式 5)

正向模式可滿足正交屬性，而形式矩陣 [F] 則會正規化以滿足下列方程式：

bsp;(方程式 6)

(方程式 7)，和

(方程式 8)。

`藉由代入 (方程式.6--8)，(方程式 5) 成為 n 獨立 SDOF 二階式微分方程式的系統：

i =1、…、n (方程式 9)

(方程式 9) 是使用例如 Wilson-Theta 和 Newmark 的逐步積分法解出的。

積分是在時域中執行的，其中最後步驟的結果是用於預測下一個步驟。

系統的位移向量 (u) 是衍生自 (方程式 4)。

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