Układy z pojedynczym stopniem swobody (SDOF)
Rozważmy układ masa-sprężyna. Masa (m) jest poddawana działaniu siły F(t) w kierunku u w funkcji czasu. Masa może poruszać się tylko w kierunku u, dlatego jest to układ z pojedynczym stopniem swobody (SDOF). Ruchowi stawia opór sprężyna o sztywności (k).
Zapisując drugą zasadę dynamiki Newtona (siła równa się masa razy przyspieszenie) dla tego układu w chwili (t) otrzymujemy:
F(t)-ku(t) = mu..(t)
lub:
mu..(t) + ku(t) = F(t)
gdzie:
u..(t) jest przyspieszeniem masy w chwili czasowej (t), równym drugiej pochodnej u po czasie.
k = jest sztywnością sprężyny
W teorii, jeżeli masa zostanie przemieszczona i zwolniona, to będzie ona wibrować z taką samą amplitudą w nieskończoność. W praktyce masa wibruje z coraz mniejszą amplitudą, aż do zatrzymania. Zjawisko to jest zwane tłumieniem i jest powodowane stratami energii w wyniku tarcia i innych efektów. Tłumienie jest zjawiskiem złożonym. W tych rozważaniach załóżmy, że siła tłumiąca jest proporcjonalne do prędkości. Ten typ tłumienia nosi nazwę tłumienia lepkościowego.
Uwzględniając tłumienie, powyższe równanie przybiera postać:
mu..(t) + cu.(t) + ku(t) = F(t)
gdzie:
u.(t) jest prędkością masy w chwili czasowej (t), równą pierwszej pochodnej u po czasie.
W badaniach statycznych prędkość i przyspieszenie są tak małe, że można je zaniedbać, a F i u nie są funkcjami czasu. Powyższe równanie upraszcza się do postaci: F=ku.
Układy z wieloma stopniami swobody (MDOF)
W układach z wieloma stopniami swobody (MDOF), wielkości m, c oraz k przybierają postać macierzy zamiast pojedynczych wartości, a równania ruchu wyrażone są jako:
gdzie:
[M]: macierz masy
[K] : macierz sztywności
[C] : macierz tłumienia
{u(t)}: wektor przemieszczenia w chwili czasowej t (komponenty przemieszczenia w każdym węźle)
: wektor przyspieszenia w czasie t (komponenty przyspieszenia w każdym węźle)
: wektor prędkości w czasie t (komponenty prędkości w każdym węźle)
{f(t)}: zmienny w czasie wektor obciążenia (komponenty siły w każdym węźle)