藉由套用對數應變定義，軸差及體積零組件的應變和應力張量及其關係，可正確地以解偶形式表示。
首先，假設以下式表示塑性與彈性總應變向量：
ε(bar)p = εul ξs(n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
可由下式推算出 Kirchhoff 應力向量：
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
在上述公式中：
| εul
|
表示材料塑性應變最大變形量之刻度參數 [EUL] |
| ξs
|
介於 0 與 1 之間的參數，為塑性應變量測值 |
| θ |
體積應變 = ε11 + ε22 + ε33
|
| e(bar) |
偏應變向量 |
| t(bar) |
偏應力向量
|
| n(bar) |
偏應力的範數 = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar)) |
| m(bar) |
向量形式的單位矩陣：{1,1,1,0,0,0}T
|
| K 與 G |
容積及剪力彈性模數： K = E / [3(1-2ν)]、G = E / [2(1+ν)] |
線性流動律可以增量形式分別表示如下：
載入中: Δξs = (1.0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)
解除負載： Δξ
s = ξ
s ΔF / (F - R
f2)
且當非零的 β 被定義時，會使用指數流動律：
載入中: Δξs = β1(1.0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)2
解除負載： Δξs = β2ξs ΔF / (F - Rf2)2
- 一般而言，形狀記憶合金已知對於速率影響的反應遲鈍。 因此在上述公式中，「時間」代表虛擬變數，時間長短不會影響解答。
- 在此舉出的所有方程式皆針對拉伸負載 - 卸載，因為類似的表達式 (含有壓縮屬性參數者) 可應用在壓縮負載 - 卸載條件中。
- 在此使用的增量求解運算法係採用 return-map 程序，以推算求解步階的應力以及本構方程式。因此，解決辦法包含兩個部分：首先計算試驗狀態，如果試驗狀態違反流動準則，即加以調整使其回復對流動面的應力。
參考
- Auricchio, F., "A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model," International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R.L., and Lubliner, J., "Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J., and Wunderlich, eds. "On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis," Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. "Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity," Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.