Etudes dynamiques non linéaires
Pour l'analyse dynamique non linéaire, la même procédure est suivie que pour l'analyse statique linéaire: contrôle, itération et terminaison
Dans l'analyse dynamique non linéaire, les équations d'équilibre du système dynamique au pas de temps, t+Dt, sont les suivantes:
[M] t+
D
t {U
''
}
(i)
+ [C] t+
D
t {U
'
}
(i) + t+
D
t
[K]
(i) t+
D
t
[
D
U]
(i) = t+
D
t
{R} - t+
D
t
{F}
(i-1)
où
[M] = Matrice de masse du système
[C] = Matrice d'amortissement du système
t+Dt[K](i) = Matrice de raideur du système
t+Dt{R}= Vecteur de chargements nodaux appliqués en externe
t+Dt{F}(i-1) = Vecteur de forces nodales générées en interne à l'itération (i-1)
t+Dt[DU](i) = Vecteur de déplacements nodaux incrémentiels à l'itération (i)
t+Dt {U}(i) = Vecteur de déplacements totaux à l'itération (i)
t+Dt {U'}(i) = Vecteur de vitesses totales à l'itération (i)
[M] t+
D
t {U
''
}
(i) = Vecteur d'accélérations totales à l'itération (i)
En utilisant des schémas d'intégration en temps explicite tels que les méthodes Newmark-bêta ou Wilson-thêta et une méthode itérative de Newton, les équations ci-dessus sont exprimées sous la forme:
t+
D
t
[
K
]
(i) {
D
U}
(i) = t+
D
t {
R
}
(i)
où
t+Dt {R}(i) = le vecteur de chargement effectif =
= t+
D
t
{R} - t+
D
t
{F}
(i-1) + [M] (
-a0
(
t+
D
t {U}
(i-1) - t
{U} ) + a2
t
{U'} + a3
t
{U''} )
+ [C] (
-a1
(
t+
D
t {U}
(i-1) - t
{U}) + a4 t
{U'} + a5
t
{U''}
)
t+
D
t
[
K
]
(i)= la matrice de raideur effective = t+
D
t
[K]
(i) + a0
[M] + a1
[C]
où a0, a1, a2, a3, a4 et a5 sont des constantes des schémas d'intégration implicite
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Etudes statiques non linéaires