Metodo SIMP per l'ottimizzazione topologica

L'ottimizzazione topologica è il tipo più comune di ottimizzazione strutturale. È utilizzata nella fase iniziale del progetto per prevedere la distribuzione ottimale di materiale all'interno di un determinato spazio di progetto iniziale di una struttura e prende in considerazione le specifiche funzionali e i vincoli di produzione.

Il metodo matematico più diffuso per l'ottimizzazione topologica è il metodo del materiale solido isotropico con penalizzazione (SIMP, Solid Isotropic Material with Penalization). Bendsoe e Kikuchi (1988) e Rozvany e Zhou (1992) hanno inizialmente proposto il metodo SIMP. Il metodo SIMP prevede una distribuzione ottimale del materiale all'interno di un determinato spazio di progettazione, per determinati casi di carico, condizioni al contorno, vincoli di produzione e requisiti di prestazione.

Secondo Vendsoe (1989): "L'ottimizzazione della forma nella sua configurazione più generale deve consistere in una determinazione per ogni punto nello spazio, che ci sia o non ci sia del materiale in quel punto." L'approccio tradizionale all'ottimizzazione topologica è la discretizzazione di un dominio in una griglia di elementi finiti chiamata microstrutture solide isotropiche. Ogni elemento è riempito con del materiale nelle aree che richiedono il materiale, o svuotato del materiale nelle aree dove è possibile rimuovere il materiale (che rappresentano i vuoti). La distribuzione della densità del materiale all'interno di un dominio progettazione, ρ, è discreta, e a ciascun elemento è assegnato un valore binario:
  • ρ(e) = 1 dove il materiale è richiesto (nero)
  • ρ(e) = 0 dove il materiale è rimosso (bianco)

Per esempio, l'immagine mostra un layout materiale ottimizzato di una trave caricata. Gli elementi solidi con densità ρ(e) =1 sono neri, mentre gli elementi vuoti con ρ(e) = 0 sono rimossi.



L'introduzione di una funzione di distribuzione della densità continua relativa evita la natura binaria del problema. Per ogni elemento, la densità relativa assegnata può variare tra un valore minimo ρmin e 1, che consente l'assegnazione di densità intermedie per gli elementi (caratterizzati come elementi porosi):

ρmin è il valore relativo di densità minimo consentito per gli elementi vuoti superiori a zero. Questo valore di densità garantisce la stabilità numerica dell'analisi di elementi finiti.

Poiché la densità relativa del materiale può variare in modo continuo, anche il modulo di Young di ogni elemento può variare in modo continuo. Per ciascun elemento e la relazione tra il fattore di densità relativo del materiale ρe e il modulo di Young di elasticità del modello del materiale isotropico assegnato Ε0 è calcolato dalla legge di potenza:

Il fattore di penalità p diminuisce l'apporto di elementi con densità intermedie (elementi grigi) alla rigidità totale. Il fattore di penalità indirizza la soluzione di ottimizzazione agli elementi neri solidi (ρe = 1) o agli elementi bianchi vuoti (ρe= ρmin). Gli esperimenti numerici indicano che è adatto un valore di penalità p = 3.

Una riduzione di un modulo elastico del materiale dell'elemento comporta una riduzione della rigidità dell'elemento. Secondo il metodo SIMP, la rigidità globale vengono è modulata in base a:

dove è la matrice di rigidità dell'elemento, ρmin è la densità minima relativa, ρe è la densità relativa l'elemento, p è il fattore di penalità e N è il numero di elementi nel dominio di progettazione.

Per esempio, per un elemento con una densità relativa assegnata ρe = 0,5, il fattore di penalità = 3 e ρmin = 0,001, la matrice di rigidità globale è scalata di un fattore di (0,001 + (1-0,001)* 0,5 ^3) = 0,12587.

Funzione obiettivo: Massimizzazione della rigidità

Un obiettivo di ottimizzazione diffuso è la massimizzazione della rigidità complessiva di una struttura, o la riduzione della sua conformità in una determinata quantità di rimozione della massa.

La conformità è una misura della flessibilità o morbidezza complessiva di una struttura, ed è reciproca alla rigidità. La conformità globale è uguale alla somma dell'elemento elastico o alle energie di deformazione. Ridurre al minimo la conformità globale, C, è equivalente a massimizzare la rigidità globale. L'algoritmo di ottimizzazione, attraverso un processo iterativo, cerca di risolvere le densità degli elementi (che sono le variabili del progetto di ottimizzazione) che riducono al minimo la conformità globale della struttura.



[ue] è il vettore di spostamento nodale dell'elemento e, [Ke] è la rigidità dell'elemento e, e il vettore {ρ} contiene le densità relative degli elementi ρe.

Durante ogni iterazione di ottimizzazione, il vincolo di massa di destinazione, l'equilibrio forza-rigidità globale e i vincoli funzionali richiesti devono essere soddisfatti:

ve è il volume dell'elemento e Mtarget è la massa di destinazione dell'ottimizzazione.


[K{ρ}] è la matrice di rigidità globale modulata dal vettore di densità relative, {u} è il vettore di spostamento e {F} è il vettore di forza esterna.


La formula precedente contiene vincoli di risposta del progetto, come limiti su sollecitazioni, spostamenti, frequenze proprie, ecc.

Analisi sensibilità

A ogni iterazione, l'algoritmo di ottimizzazione esegue un'analisi della sensibilità per valutare l'impatto della variazione di densità del materiale sulla funzione obiettivo per massimizzare la rigidità.

Matematicamente, l'analisi della sensibilità è espressa come derivativa della funzione obiettivo rispetto alla densità del materiale:



Durante un'analisi della sensibilità, gli elementi ponderati con fattori di densità del materiale ridotta alla fine perdono la propria importanza strutturale e sono eliminati in iterazioni successive.

Se si calcola la sensibilità in modo indipendente per ogni elemento e non si prende in considerazione la connettività tra gli elementi, questo può portare a discontinuità nel materiale e ai volumi che diventando scollegati dalla geometria principale. Questo fenomeno è noto come effetto scacchiera. Per ridurre l'effetto scacchiera, si applica uno schema di filtraggio a un raggio di influenza dell'elemento e si calcola la media della sensibilità di ciascun elemento all'interno della zona di influenza.

Le iterazioni di ottimizzazione continuano fino a quando le variazioni della funzione obiettivo convergono e le iterazioni raggiungono i propri criteri di convergenza.