Mediante la adopción de la definición de deformación unitaria logarítmica, los componentes desviatorios y volumétricos de los tensores de deformación unitaria y tensión pueden expresarse correctamente de forma individual.
Primero, consideramos que los vectores de deformación unitaria plástica y elástica total se presentan de la siguiente manera:
ε(bar)p = εul ξs(n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
El vector de tensión de Kirchhoff puede entonces evaluarse a partir de:
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
En las formulaciones anteriores:
| εul
|
parámetro escalar que representa la deformación unitaria plástica máxima del material [EUL] |
| ξs
|
parámetro entre 0 y 1, como una medida de la deformación unitaria plástica |
| θ |
deformación unitaria volumétrica = ε11 + ε22 + ε33
|
| e(bar) |
vector de deformación unitaria desviatoria |
| t(bar) |
vector de tensión desviatoria
|
| n(bar) |
norma de la tensión desviatoria = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar)) |
| m(bar) |
la matriz de identidad en forma de vector: {1,1,1,0,0,0}T
|
| K y G |
módulos elásticos cortantes y de compresibilidad: K = E / [3(1-2ν)], G = E / [2(1+ν)] |
En consecuencia, la regla de flujo lineal en la forma incremental puede expresarse de la siguiente manera:
Carga: Δξs = (1.0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)
Descarga: Δξ
s = ξ
s ΔF / (F - R
f2)
Y la regla de flujo exponencial utilizada cuando se define β distinto de cero:
Carga: Δξs = β1(1.0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)2
Descarga: Δξs = β2ξs ΔF / (F - Rf2)2
- En general, las aleaciones con memoria de forma demuestran no ser sensibles a los efectos de la velocidad. Por lo tanto, en la formulación anterior, el "tiempo" representa una seudovariable y su longitud no afecta la solución.
- Todas las ecuaciones se presentan aquí para límite de carga-descarga de tracción, puesto que pueden utilizarse expresiones similares (con parámetros de propiedades compresivas) para las condiciones de límites de carga-descarga de compresión.
- El algoritmo de solución incremental aquí presentado utiliza un procedimiento de asignación de retorno en la evaluación de tensiones y ecuaciones constitutivas para un paso de solución. En consecuencia, la solución consta de dos partes. Inicialmente, se calcula un estado de prueba. A continuación, si el estado de prueba infringe el criterio de flujo, se realiza un ajuste para retornar las tensiones a la superficie de flujo.
Referencias
- Auricchio, F., "A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model," International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R.L., and Lubliner, J., "Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J., y Wunderlich, eds. "On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis," Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. "Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity," Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.