Attraverso l'adozione di una definizione di deformazione logaritmica, i componenti deviatorici e volumetrici dei tensori di sollecitazione e deformazione e le relative relazioni possono essere espressi correttamente in una forma di assorbimento dello shock.
Prima vengono considerati i vettori di deformazione plastica ed elastica rappresentati da:
ε(bar)p = εul ξs(n(bar) + α*m(bar))
ε(bar)e(bar) = ε(bar) - ε(bar)p
Il vettore di sollecitazione Kirchhoff può quindi essere calcolato come:
τ(bar) = p m(bar) + t(bar)
p = K (θ - 3 α εul ξs)
t = 2 G (e(bar) - εul ξsn(bar))
Nelle formule sopra riportate:
| εul
|
parametro scalare che rappresenta la deformazione da sollecitazione plastica massima del materiale [EUL] |
| ξs
|
parametro compreso tra 0 e 1, come valore della deformazione plastica |
| θ |
deformazione volumetrica = ε11 + ε22 + ε33
|
| e(bar) |
vettore di deformazione deviatorica |
| t(bar) |
vettore di sollecitazione deviatorica
|
| n(bar) |
norma della sollecitazione deviatorica = t(bar) / (sqrt(2) σ(bar)) |
| m(bar) |
matrice di identità in forma vettoriale: {1,1,1,0,0,0}T
|
| K e G |
moduli di elasticità dell'ambiente e di taglio: K = E / [3(1-2ν)], G = E / [2(1+ν)] |
La regola di flusso lineare nella forma incrementale può essere espressa di conseguenza:
Caricamento: Δξs = (1,0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)
Scarico: Δξ
s = ξ
s ΔF / (F - R
f2)
E la regola del flusso esponenziale, usata quando un valore β non zero è definito:
Caricamento: Δξs = β1(1,0 - ξs) ΔF / (F - Rf1)2
Scarico: Δξs = β2ξs ΔF / (F - Rf2)2
- In generale, le leghe a memoria di forma (SMA) non sono soggette a velocità. Quindi, nella formula sopra riportata il 'tempo' rappresenta una pseudo variabile e la sua lunghezza non interessa la soluzione.
- Tutte le equazioni sono qui presentate per il carico/scarico di trazione, poiché espressioni simili (con parametri delle proprietà di compressione) possono essere utilizzate per le condizioni di carico/scarico di compressione.
- L'algoritmo della soluzione incrementale qui utilizza schemi di tipo "mappa di ritorno" per la valutazione delle sollecitazioni e delle equazioni costitutive per un passo della soluzione. Di conseguenza, la soluzione è costituita da due parti. Inizialmente, viene calcolato uno stato di prova; quindi se lo stato di prova viola il criterio di flusso, vengono applicate delle modifiche affinché le sollecitazioni rientrino nella superficie di flusso.
Riferimenti
- Auricchio, F., 'A Robust Integration-Algorithm for a Finite-Strain Shape-Memory-Alloy Superelastic Model', International Journal of Plasticity, vol. 17, pp. 971-990, 2001.
- Auricchio, F., Taylor, R.L., e Lubliner, J., 'Shape-Memory-Alloys: Macromodeling and Numerical Simulations of the Superelastic Behavior', Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 146, pp. 281-312, 1997.
- Bergan, P.G., Bathe, K.J. e Wunderlich, eds. 'On Large Strain Elasto-Plastic and Creep Analysis', Finite Elements Methods for Nonlinear Problems, Springer-Verlag 1985.
- Hughes, T., eds. 'Numerical Implementation of Constitutive Models: Rate-Independent Deviatoric Plasticity', Theoretical Foundation for Large-Scale Computations for Nonlinear Material Behavior, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1984.