SIMP-Methode zur Topologieoptimierung

Die Topologieoptimierung ist die häufigste Art der strukturellen Optimierung. Sie wird in der Anfangsphase der Konstruktion verwendet, um die optimale Materialverteilung innerhalb eines bestimmten anfänglichen Konstruktionsraums einer Struktur vorherzusagen und die funktionalen Spezifikationen und Fertigungsbedingungen zu berücksichtigen.

Die gängigste mathematische Methode zur Topologieoptimierung ist die SIMP-Methode (Solid Isotropic Material with Penalization). Die SIPP-Methode wurde ursprünglich von Bendsoe und Kikuchi (1988) und Rozvany und Zhou (1992) vorgeschlagen. Die SIMP-Methode prognostiziert eine optimale Materialverteilung innerhalb eines bestimmten Konstruktionsraums für bestimmte Lastfälle, Randbedingungen, Fertigungseinschränkungen und Leistungsanforderungen.

Bendsoe (1989): „Die Formoptimierung in ihrer allgemeinsten Form sollte daraus bestehen, dass für jeden Punkt im Raum ermittelt wird, ob an diesem Punkt Material vorhanden ist oder nicht.“ Der herkömmliche Ansatz der Topologieoptimierung ist die Diskretisierung einer Domäne in einem Raster von finiten Elementen, die als isotrope Festkörpermikrostrukturen bezeichnet werden. Jedes Element ist entweder mit Material gefüllt (für Regionen, für die Material erforderlich ist) oder entleert (für Regionen, in denen Material entfernt werden kann, was Hohlräumen bzw. Leerbereichen entspricht). Die Dichteverteilung des Materials in einer Konstruktionsdomäne, ρ, ist diskret und jedes Element wird einem Binärwert zugewiesen:
  • ρ(e) = 1, wo Material benötigt wird (schwarz)
  • ρ(e) = 0, wo Material entfernt wird (weiß)

Das Bild zeigt beispielsweise ein optimiertes Materiallayout eines belasteten Trägers. Die Volumenkörperelemente mit den Dichten ρ(e) =1 sind schwarz, während die Leerelemente mit dem Wert ρ(e) =0 entfernt werden.



Durch die Einführung einer kontinuierlichen relativen Dichteverteilungsfunktion wird der binäre (Ein/Aus)-Charakter des Problems vermieden. Für jedes Element kann die zugewiesene relative Dichte zwischen einem Mindestwert ρmin und 1 variieren, wodurch die Zuordnung von Zwischendichten für (als porös charakterisierte) Elemente ermöglicht wird:

ρmin ist der zulässige Mindestwert der relativen Dichte für leere Elemente, die größer als 0 sind. Dieser Dichtewert stellt die numerische Stabilität der Finite-Elemente-Analyse sicher.

Da die relative Dichte des Materials kontinuierlich variieren kann, kann auch das Youngsche Modul (E-Modul) bei jedem Element kontinuierlich variieren. Für jedes Element e wird das Verhältnis zwischen dem relativen Dichtefaktor des Materials ρe und dem Elastizitätsmodul des zugewiesenen isotropen Materialmodells Ε0 mit dem Potenzgesetz berechnet:

Der Straffaktor p verringert den Beitrag von Elementen mit dazwischenliegenden Dichten (grauen Elementen) zur Gesamtsteifigkeit. Der Straffaktor steuert die Optimierungslösung für Elemente, die entweder fest und schwarz (ρe = 1) oder leer und weiß (ρe= ρmin) sind. Numerische Experimente zeigen, dass ein Straffaktor von p = 3 geeignet ist.

Die Reduzierung des E-Moduls des Materials eines Elements führt zu einer Verringerung der Elementsteifigkeit. Gemäß der SIMP-Methode wird die globale Steifigkeit entsprechend den folgenden Faktoren moduliert:

Dabei ist die Elementsteifigkeitsmatrix, ρmin die minimale relative Dichte, ρe die relative Dichte des Elements, p der Straffaktor und N die Anzahl der Elemente in der Konstruktionsdomäne.

Beispiel: Für ein Element mit einer zugewiesenen relativen Dichte von ρe = 0,5, einem Straffaktor von 3 und ρmin = 0,001 ergibt sich die globale Steifigkeitsmatrix anhand von (0,001 + (1 -0,001)* 0,5 ^3) = 0,12587.

Zielfunktion: Maximieren der Steifigkeit

Ein beliebtes Optimierungsziel ist die Maximierung der Gesamtsteifigkeit einer Struktur oder die Minimierung ihrer Compliance bei einer bestimmten Entfernung von Masse.

Compliance ist ein Maß für die Gesamtflexibilität oder Weichheit einer Struktur und steht im umgekehrten Verhältnis zur Steifigkeit. Die globale Compliance ist gleich der Summe der elastischen Energien oder Dehnungsenergien des Elements. Das Minimieren der globalen Compliance, C, ist äquivalent zur Maximierung der globalen Steifigkeit. Der Optimierungsalgorithmus versucht durch einen iterativen Prozess, die Elementdichten (die Optimierungskonstruktionsvariablen) aufzulösen, die die globale Compliance der Struktur minimieren.



[ue] ist der Knotenverschiebungsvektor des Elements e; [Ke] ist die Steifigkeit des Elements e und der Vektor {ρ} enthält die relative Dichten ρe des Elements.

Während jeder Optimierungsiteration müssen die Zielmassenbedingung, die globale Kraft-Steifigkeits-Balance und die erforderlichen funktionalen Bedingungen erfüllt sein:

ve ist das Elementvolumen und Mtarget ist die Zielmasse der Optimierung.


[K{ρ}] ist die globale Steifigkeitsmatrix, die durch den Vektor der relativen Dichte moduliert wird; {u} ist der Verschiebungsvektor und {F} ist der externe Kraftvektor.


Die obige Formel enthält Konstruktionsreaktionsbedingungen wie Grenzwerte für Spannungen, Verschiebungen, Eigenfrequenzen usw.

Sensitivitätsanalyse

Während jeder Iteration führt der Optimierungsalgorithmus eine Sensitivitätsanalyse durch, um die Auswirkung der Variation zu bewerten, die die Materialdichte auf die Zielfunktion hat, um letztendlich die Steifigkeit zu maximieren.

Mathematisch wird die Sensitivitätsanalyse als Ableitung der Zielfunktion in Bezug auf die Materialdichte ausgedrückt:



Während einer Sensitivitätsanalyse verlieren die Elemente, die mit niedrigen Materialdichtefaktoren gewichtet sind, ihre strukturelle Bedeutung und werden bei weiteren Iterationen eliminiert.

Wenn Sie die Sensitivität für jedes Element unabhängig voneinander berechnen, ohne die Verbindung der Elemente untereinander zu berücksichtigen, kann dies zu Materialunstetigkeit führen und dazu, dass die Volumenkörper nicht mit der Hauptgeometrie verbunden sind. Dies wird als Schachbretteffekt bezeichnet. Um den Schachbretteffekt zu verringern, wendet ein Filterschema einen Elementeinflussradius an und mittelt die Empfindlichkeiten der einzelnen Elemente innerhalb des Einflussbereichs.

Die Optimierungsiterationen werden fortgesetzt, bis die Variationen der Zielfunktion konvergieren und die Iterationen ihre Konvergenzkriterien erreichen.