Procedimento de análise - Vibração aleatória

O sistema de equações de movimento para um sistema linear com n graus de liberdade, excitado por uma força que varia com o tempo, é:

(Equação 1)

Usando transformação de coordenada, o conjunto de n equações simultâneas é reduzido a n equações independentes (cada equação pode ser resolvida independentemente):

para r = 1, 2, ...., n (Equação 2)

onde x_r(t) são as coordenadas modais relacionadas às coordenadas nodais u_r(t) por:

(Equação 3).

O vetor de cargas modais {m(t)} é dado por:

(Equação 4).

Assumindo que as excitações são expressas por suas funções de densidade espectral de potência (psd), a solução pode ser formulada no domínio da frequência. Se a matriz de excitação psd é dada por [S_f(ω)], a matriz de força modal psd é definida como:

(Equação 5).

A psd da resposta de deslocamento modal [S_x(ω)] é obtida de:

(Equação 6),

onde [H(w)] é a matriz da função de transferência modal e [H*(w)] é o seu conjugado complexo. Para modos normais, a matriz da função de transferência é diagonal com elementos diagonais H_r(ω)

(Equação 7) e

(Equação 8).

A psd da resposta de deslocamento [S_u(ω)] é então derivada da (Equação 3).

(Equação 9).

As psd das respostas de velocidade e aceleração são expressas por:

(Equação 10) e

(Equação 11).

As psd de velocidade e aceleração modais estão relacionadas à psd de deslocamento modal por:

(Equação 12) e (Equação 13)

A Equação 10 e a Equação 11 podem ser reescritas como:

(Equação 14) e (Equação 15).

As respostas de autocorrelação modal com retardo zero (t=0), em termos de psd da resposta modal, são calculadas pelas integrais:

(Equação 16)

(Equação 17)

(Equação 18).

A partir das equações acima, as respostas da raiz média quadrática são determinadas a partir dos termos da diagonal das matrizes:

(Equação 19),

(Equação 20),

(Equação 21).