Equações de movimento

Sistema com um grau de liberdade (SDOF)

Considere um sistema simples massa-mola. A massa (m) está sujeita a uma força F(t) na direção u em função do tempo. A massa pode se mover somente na direção u e, portanto, este é um sistema com um grau de liberdade (SDOF). O movimento é contrariado por uma mola com rigidez (k)

Aplicando a segunda lei de Newton (força igual a massa vezes a aceleração) a esse sistema no instante (t), obtemos:

F(t)-ku(t) = mu^..(t)

ou:

mu^..(t) + ku(t) = F(t)

onde:

u^..(t) é a aceleração da massa no instante (t), sendo igual à derivada segunda de u em relação ao tempo

k = é a rigidez da mola

Teoricamente, se a massa for deslocada e liberada, ele continuará a vibrar com a mesma amplitude para sempre. Na prática, a massa vibra com amplitudes progressivamente menores até o repouso. Esse fenômeno se chama amortecimento e é causado pela perda de energia através do atrito e de outros efeitos. O amortecimento é um fenômeno complexo. Nesta discussão, assumiremos que a força de amortecimento é proporcional à velocidade. Esse tipo de amortecimento é chamado de amortecimento viscoso.

Considerando o amortecimento, as equações acima se tornam:

mu^..(t) + cu^.(t) + ku(t) = F(t)

onde:

u^..(t) é a velocidade da massa no instante (t), sendo igual à derivada primeira de u em relação ao tempo

Sistema com múltiplos graus de liberdade (MDOF)

Em um sistema com múltiplos graus de liberdade (MDOF), m, c, e k se tornam matrizes em vez de valores únicos e as equações do movimento são:

onde:

-M matriz de massa

[K] : matriz de rigidez

[C] : matriz de amortecimento

{u(t)}: vetor do deslocamento no instante t (componentes do deslocamento de todos os nós)

vetor da aceleração no instante t (componentes da aceleração de todos os nós)

vetor da velocidade no instante t (componentes da velocidade de todos os nós)

{f(t)}: vetor de carga com variação no tempo (componentes da força de todos os nós)